ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 303 Алимов — Подробные Ответы

Выразить данный логарифм через десятичный и вычислить на микрокалькуляторе с точностью до 0,01:

1. log7(25);
2. log5(8);
3. log9(0,75);
4. log0,75(1,13).

Выразить данный логарифм через десятичный, вычислить его значение на микрокалькуляторе с точностью до 0,01:

1. $\log_{7} 25 = \frac{\lg 25}{\lg 7} \approx \frac{1,39794}{0,84509} \approx 1,65$;
2. $\log_{5} 8 = \frac{\lg 8}{\lg 5} \approx \frac{0,90308}{0,69897} \approx 1,29$;
3. $\log_{9} 0,75 = \frac{\lg 0,75}{\lg 9} \approx \frac{-0,12493}{0,95424} \approx -0,13$;
4. $\log_{0,75} 1,13 = \frac{\lg 1,13}{\lg 0,75} \approx \frac{0,05307}{-0,12493} \approx -0,42$;

Выразить логарифмы через десятичный и вычислить с точностью до 0,01:

Обозначение: $\lg x = \log_{10} x$ — десятичный логарифм числа $x$.

Основная формула перехода между основаниями логарифмов

Для любых оснований $a > 0, a \neq 1$, $b > 0, b \neq 1$, и любого положительного числа $x$ верно:

$$\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}.$$

Здесь мы выберем $b=10$ (десятичный логарифм), т.е.

$$\log_a x = \frac{\lg x}{\lg a}.$$

1) Вычислить $\log_7 25$

Шаг 1. Используем формулу перехода:

$$\log_7 25 = \frac{\lg 25}{\lg 7}.$$

Шаг 2. Вычисляем десятичные логарифмы на калькуляторе:

$$\lg 25\approx \mathrm{1,39794},$$

$$\lg 25 \approx 1{,}39794,$$ $$\lg 7 \approx 0{,}84509.$$

Шаг 3. Подставляем в формулу:

$$\log_7 25 = \frac{1{,}39794}{0{,}84509}.$$

Шаг 4. Делим:

$$\approx 1{,}6538.$$

Шаг 5. Округляем до двух знаков после запятой:

$$\boxed{1{,}65}.$$

2) Вычислить $\log_5 8$

Шаг 1. Формула перехода:

$$\log_5 8 = \frac{\lg 8}{\lg 5}.$$

Шаг 2. На калькуляторе:

$$\lg 8\approx \mathrm{0,90308},$$

$$\lg 8 \approx 0{,}90308,$$ $$\lg 5 \approx 0{,}69897.$$

Шаг 3. Подставляем:

$$\log_5 8 = \frac{0{,}90308}{0{,}69897} \approx 1{,}2914.$$

Шаг 4. Округляем:

$$\boxed{1{,}29}.$$

3) Вычислить $\log_9 0{,}75$

Шаг 1. Формула перехода:

$$\log_9 0{,}75 = \frac{\lg 0{,}75}{\lg 9}.$$

Шаг 2. На калькуляторе:

$$\lg \mathrm{0,75}\approx -\mathrm{0,12493},$$

$$\lg 0{,}75 \approx -0{,}12493,$$ $$\lg 9 \approx 0{,}95424.$$

Шаг 3. Подставляем:

$$\log_9 0{,}75 = \frac{-0{,}12493}{0{,}95424} \approx -0{,}1309.$$

Шаг 4. Округляем:

$$\boxed{-0{,}13}.$$

4) Вычислить $\log_{0{,}75} 1{,}13$

Шаг 1. Формула перехода:

$$\log_{0{,}75} 1{,}13 = \frac{\lg 1{,}13}{\lg 0{,}75}.$$

Шаг 2. На калькуляторе:

$$\lg \mathrm{1,13}\approx \mathrm{0,05307},$$

$$\lg 1{,}13 \approx 0{,}05307,$$ $$\lg 0{,}75 \approx -0{,}12493.$$

Шаг 3. Подставляем:

$$\log_{0{,}75} 1{,}13 = \frac{0{,}05307}{-0{,}12493} \approx -0{,}425.$$

Шаг 4. Округляем:

$$\boxed{-0{,}42}.$$

Итог