ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 298 Алимов — Подробные Ответы

Вычислить:

1. ${36}^{{\log }_{6}5}+{10}^{1-{\log }_{10}2}-8^{{\log }_{2}3}$
2. $({81}^{\frac{1}{4}-\frac{1}{2}{\log }_{9}4}+{25}^{{\log }_{125}8})\cdot {49}^{{\log }_{7}2}$
3. ${16}^{1+{\log }_{4}5}+4^{\frac{1}{2}{\log }_{2}3+3{\log }_{8}5}$
4. $72\cdot ({49}^{\frac{1}{2}{\log }_{7}9-{\log }_{7}6}+5^{-{\log }_{\sqrt{5}}4})$

${\mathrm{1.\; 36}}^{{\log }_{6}5}+{10}^{1-{\log }_{10}2}-8^{{\log }_{2}3}=(6^{{\log }_{6}5}{)}^2+\frac{10}{{10}^{{\log }_{10}2}}-(2^{{\log }_{2}3}{)}^3=$

$=5^2+\frac{10}{2}-3^3=25+5-27=3$

$2.\; ({81}^{\frac{1}{4}-\frac{1}{2}{\log }_{9}4}+{25}^{{\log }_{125}8})\cdot {49}^{{\log }_{7}2}=(\frac{{81}^{\frac{1}{4}}}{{81}^{\frac{1}{2}{\log }_{9}4}}+5^{2{\log }_{125}8})\cdot (7^{{\log }_{7}2}{)}^2=$

$=(\frac{3}{9^{{\log }_{9}4}}+({125}^{{\log }_{125}8}{)}^{\frac{2}{3}})\cdot 2^2=(\frac{3}{4}+(2^3{)}^{\frac{2}{3}})\cdot 2^2=$

$=(\frac{3}{2^2}+2^2)\cdot 2^2=3+2^4=3+16=19$

${\mathrm{3.\; 16}}^{1+{\log }_{4}5}+4^{\frac{1}{2}{\log }_{2}3+3{\log }_{8}5}=16\cdot {16}^{{\log }_{4}5}+4^{\frac{1}{2}{\log }_{2}3}\cdot 4^{3{\log }_{8}5}=$

$=16\cdot (4^{{\log }_{4}5}{)}^2+2^{{\log }_{2}3}\cdot {64}^{{\log }_{8}5}=$

$=16\cdot 5^2+3\cdot (8^{{\log }_{8}5}{)}^2=16\cdot 25+3\cdot 5^2=400+3\cdot 25=400+75=475$

$\mathrm{4.\; 72}\cdot ({49}^{\frac{1}{2}{\log }_{7}9-{\log }_{7}6}+5^{-{\log }_{\sqrt{5}}4})=72\cdot (\frac{{49}^{\frac{1}{2}{\log }_{7}9}}{{49}^{{\log }_{7}6}}+{((\sqrt{5}{)}^{{\log }_{\sqrt{5}}4})}^{-2})=$

$=72\cdot (\frac{7^{{\log }_{7}9}}{(7^{{\log }_{7}6}{)}^2}+4^{-2})=72\cdot (\frac{9}{6^2}+\frac{1}{4^2})=72\cdot (\frac{9}{36}+\frac{1}{16})=$

$=72\cdot (\frac{1}{4}+\frac{1}{16})=72\cdot \frac{5}{16}=4.5\cdot 5=22.5$

1)

$${36}^{{\log }_{6}5}+{10}^{1-{\log }_{10}2}-8^{{\log }_{2}3}$$

Шаг 1. Представим числа в виде степеней более простых оснований.

$$36=6^2,8=2^3,{10}^{1-{\log }_{10}2}={10}^1\cdot {10}^{-{\log }_{10}2}=\frac{10}{{10}^{{\log }_{10}2}}$$

Шаг 2. Переписываем выражение:

$$(6^2{)}^{{\log }_{6}5}+\frac{10}{{10}^{{\log }_{10}2}}-(2^3{)}^{{\log }_{2}3}$$

Шаг 3. Используем свойство степеней $(a^m{)}^n=a^{mn}$:

$$6^{2{\log }_{6}5}+\frac{10}{{10}^{{\log }_{10}2}}-2^{3{\log }_{2}3}$$

Шаг 4. Применяем свойство логарифма и степени: $a^{{\log }_{a}b}=b$:

$$6^{2{\log }_{6}5}=(6^{{\log }_{6}5}{)}^2=5^2=25$$

$$$$$${10}^{{\log }_{10}2}=2$$

$$$$$$2^{3{\log }_{2}3}=(2^{{\log }_{2}3}{)}^3=3^3=27$$

Шаг 5. Подставляем вычисленные значения:

$$25+\frac{10}{2}-27=25+5-27=3$$

Ответ 1):

$$\boxed{{\displaystyle 3}}$$

2)

$$({81}^{\frac{1}{4}-\frac{1}{2}{\log }_{9}4}+{25}^{{\log }_{125}8})\cdot {49}^{{\log }_{7}2}$$

Шаг 1. Разделим первое слагаемое на дробь степени:

$${81}^{\frac{1}{4}}÷{81}^{\frac{1}{2}{\log }_{9}4}$$

Шаг 2. Подставляем основания через степени:

$$81=9^2,25=5^2,49=7^2,125=5^3$$

Шаг 3. Переписываем:

$$\frac{{81}^{\frac{1}{4}}}{{81}^{\frac{1}{2}{\log }_{9}4}}=\frac{(9^2{)}^{\frac{1}{4}}}{(9^2{)}^{\frac{1}{2}{\log }_{9}4}}=\frac{9^{\frac{2}{4}}}{9^{2\cdot \frac{1}{2}{\log }_{9}4}}=\frac{9^{\frac{1}{2}}}{9^{{\log }_{9}4}}=\frac{\sqrt{9}}{4}=\frac{3}{4}$$

Шаг 4. Второй член внутри скобок:

$${25}^{{\log }_{125}8}=(5^2{)}^{{\log }_{5^3}8}=5^{2\cdot {\log }_{5^3}8}$$

Используем изменение основания логарифма:

$${\log }_{5^3}8=\frac{{\log }_{5}8}{3}$$

Шаг 5. Подставляем:

$$5^{2\cdot \frac{{\log }_{5}8}{3}}=5^{\frac{2}{3}{\log }_{5}8}=(5^{{\log }_{5}8}{)}^{\frac{2}{3}}=8^{\frac{2}{3}}$$

Шаг 6. Вычисляем $8^{\frac{2}{3}}$:

$$8^{\frac{1}{3}}=2⟹8^{\frac{2}{3}}=2^2=4$$

Шаг 7. Подставляем ${49}^{{\log }_{7}2}=(7^2{)}^{{\log }_{7}2}=7^{2{\log }_{7}2}=(7^{{\log }_{7}2}{)}^2=2^2=4$.

Шаг 8. Подставляем все в исходное выражение:

$$(\frac{3}{4}+4)\cdot 4=(\frac{3}{4}+\frac{16}{4})\cdot 4=\frac{19}{4}\cdot 4=19$$

Ответ 2):

$$\boxed{{\displaystyle 19}}$$

3)

$${16}^{1+{\log }_{4}5}+4^{\frac{1}{2}{\log }_{2}3+3{\log }_{8}5}$$

Шаг 1. Разбиваем выражение на произведения степеней:

$${16}^1\cdot {16}^{{\log }_{4}5}+4^{\frac{1}{2}{\log }_{2}3}\cdot 4^{3{\log }_{8}5}$$

Шаг 2. Представляем основания через степени двойки:

$$16=4^2=(2^2{)}^2=2^4,4=2^2,8=2^3$$

Шаг 3. Вычисляем ${16}^{{\log }_{4}5}$:

$${16}^{{\log }_{4}5}=(4^2{)}^{{\log }_{4}5}=4^{2{\log }_{4}5}=(4^{{\log }_{4}5}{)}^2=5^2=25$$

Шаг 4. Вычисляем $4^{\frac{1}{2}{\log }_{2}3}$:

$$4^{\frac{1}{2}{\log }_{2}3}=(2^2{)}^{\frac{1}{2}{\log }_{2}3}=2^{2\cdot \frac{1}{2}{\log }_{2}3}=2^{{\log }_{2}3}=3$$

Шаг 5. Вычисляем $4^{3{\log }_{8}5}$:

$$4^{3{\log }_{8}5}=(2^2{)}^{3{\log }_{8}5}=2^{6{\log }_{8}5}$$

Шаг 6. Представляем $2^{6{\log }_{8}5}$ через основание 8:

$${\log }_{8}5=\frac{{\log }_{2}5}{{\log }_{2}8}=\frac{{\log }_{2}5}{3}$$

Тогда:

$$2^{6{\log }_{8}5}=2^{6\cdot \frac{{\log }_{2}5}{3}}=2^{2{\log }_{2}5}=(2^{{\log }_{2}5}{)}^2=5^2=25$$

Шаг 7. Подставляем всё обратно:

$$16\cdot 25+3\cdot 25=400+75=475$$

Ответ 3):

$$\boxed{{\displaystyle 475}}$$

4)

$$72\cdot ({49}^{\frac{1}{2}{\log }_{7}9-{\log }_{7}6}+5^{-{\log }_{\sqrt{5}}4})$$

Шаг 1. Запишем дробь в первом слагаемом как отношение степеней:

$${49}^{\frac{1}{2}{\log }_{7}9-{\log }_{7}6}=\frac{{49}^{\frac{1}{2}{\log }_{7}9}}{{49}^{{\log }_{7}6}}$$

Шаг 2. Выразим 49 через 7:

$$49=7^2$$

Шаг 3. Подставим:

$$\frac{(7^2{)}^{\frac{1}{2}{\log }_{7}9}}{(7^2{)}^{{\log }_{7}6}}=\frac{7^{2\cdot \frac{1}{2}{\log }_{7}9}}{7^{2{\log }_{7}6}}=\frac{7^{{\log }_{7}9}}{7^{2{\log }_{7}6}}=\frac{9}{6^2}=\frac{9}{36}=\frac{1}{4}$$

Шаг 4. Рассмотрим второй член:

$$5^{-{\log }_{\sqrt{5}}4}={((\sqrt{5}{)}^{{\log }_{\sqrt{5}}4})}^{-2}$$

Шаг 5. По определению логарифма:

$$(\sqrt{5}{)}^{{\log }_{\sqrt{5}}4}=4$$

Тогда:

$${\left(4\right)}^{-2}=\frac{1}{4^2}=\frac{1}{16}$$

Шаг 6. Складываем внутри скобок:

$$\frac{1}{4}+\frac{1}{16}=\frac{4}{16}+\frac{1}{16}=\frac{5}{16}$$

Шаг 7. Умножаем на 72:

$$72\cdot \frac{5}{16}=\frac{72\cdot 5}{16}=\frac{360}{16}=22.5$$

Ответ 4):

$$\boxed{{\displaystyle 22.5}}$$