ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 295 Алимов — Подробные Ответы

Вычислить loga(x) , если loga(b)=3, loga(c)=-2:

1. x=a3b2 корень c;
2. x=(a4 корень 3 степени b)/ c3.

Вычислить ${\log }_{a}x$, если ${\log }_{a}b=3$ и ${\log }_{a}c=-2$:

$\mathrm{1.\; x}=a^3{b}^2\sqrt{c}$;

$${\log }_{a}x={\log }_a(a^3{b}^2\sqrt{c})={\log }_a{a}^3+{\log }_a{b}^2+{\log }_a{c}^{\frac{1}{2}}=$$$$=3{\log }_{a}a+2{\log }_{a}b+\frac{1}{2}{\log }_{a}c=3\cdot 1+2\cdot 3+\frac{1}{2}\cdot (-2)=3+6-1=8;$$

Ответ: 8.

$\mathrm{2.\; x}=\frac{a^4\cdot \sqrt[3]{b}}{c^3}$;

$${\log }_{a}x={\log }_a\left(\frac{a^4\cdot \sqrt[3]{b}}{c^3}\right)={\log }_a(a^4\cdot b^{\frac{1}{3}})-{\log }_a{c}^3=$$$$={\log }_a{a}^4+{\log }_a{b}^{\frac{1}{3}}-{\log }_a{c}^3=4{\log }_{a}a+\frac{1}{3}{\log }_{a}b-3{\log }_{a}c=$$$$=4\cdot 1+\frac{1}{3}\cdot 3-3\cdot (-2)=4+1+6=11;$$

Ответ: 11.

Дано:

$${\log }_{a}b=3,{\log }_{a}c=-2$$

Нужно найти ${\log }_{a}x$ для двух выражений $x$.

1) $x=a^3{b}^2\sqrt{c}$

Шаг 1. Запишем логарифм от $x$:

$${\log }_{a}x={\log }_a\left(a^3{b}^2\sqrt{c}\right)$$

Шаг 2. Применяем свойство логарифма произведения:

$${\log }_a(uvw)={\log }_{a}u+{\log }_{a}v+{\log }_{a}w$$

В нашем случае:

$${\log }_{a}x={\log }_a{a}^3+{\log }_a{b}^2+{\log }_a\sqrt{c}$$

Шаг 3. Применяем свойство логарифма степени:

$${\log }_a{m}^k=k\cdot {\log }_{a}m$$

Получаем:

$${\log }_a{a}^3=3\cdot {\log }_{a}a,{\log }_a{b}^2=2\cdot {\log }_{a}b,{\log }_a\sqrt{c}={\log }_a{c}^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\cdot {\log }_{a}c$$

Шаг 4. Подставляем известные значения логарифмов:

$${\log }_{a}a=1\text{(логарифм основания по основанию равен 1)},$$$${\log }_{a}b=3,$$$${\log }_{a}c=-2$$

Шаг 5. Подставляем в выражение:

$${\log }_{a}x=3\cdot 1+2\cdot 3+\frac{1}{2}\cdot (-2)$$

Шаг 6. Вычисляем:

$$3\cdot 1=3$$$$2\cdot 3=6$$$$\frac{1}{2}\cdot (-2)=-1$$

Шаг 7. Складываем все части:

$$3+6-1=8$$

Ответ для 1):

$$\boxed{{\displaystyle 8}}$$

2) $x=\frac{a^4\cdot \sqrt[3]{b}}{c^3}$

Шаг 1. Записываем логарифм от $x$:

$${\log }_{a}x={\log }_a\left(\frac{a^4\cdot \sqrt[3]{b}}{c^3}\right)$$

Шаг 2. Используем свойство логарифма частного:

$${\log }_a\frac{u}{v}={\log }_{a}u-{\log }_{a}v$$

Тогда:

$${\log }_{a}x={\log }_a(a^4\cdot \sqrt[3]{b})-{\log }_a{c}^3$$

Шаг 3. Применяем свойство логарифма произведения:

$${\log }_a(uv)={\log }_{a}u+{\log }_{a}v$$

Получаем:

$${\log }_{a}x={\log }_a{a}^4+{\log }_a{b}^{\frac{1}{3}}-{\log }_a{c}^3$$

Шаг 4. Применяем свойство логарифма степени:

$${\log }_a{a}^4=4\cdot {\log }_{a}a$$$${\log }_a{b}^{\frac{1}{3}}=\frac{1}{3}\cdot {\log }_{a}b$$$${\log }_a{c}^3=3\cdot {\log }_{a}c$$

Шаг 5. Подставляем известные значения:

$${\log }_{a}a=1,{\log }_{a}b=3,{\log }_{a}c=-2$$

Шаг 6. Получаем:

$${\log }_{a}x=4\cdot 1+\frac{1}{3}\cdot 3-3\cdot (-2)$$

Шаг 7. Вычисляем каждое слагаемое:

$$4\cdot 1=4$$$$\frac{1}{3}\cdot 3=1$$$$-3\cdot (-2)=+6$$

Шаг 8. Складываем:

$$4+1+6=11$$

Ответ для 2):

$$\boxed{{\displaystyle 11}}$$