ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 294 Алимов — Подробные Ответы

1. log3(8)/log3(16);
2. log5(27)/log5(9);
3. (log5(36) — log5(12))/log5(9);
4. log7(8)/(log7(15) — log7(30)).

1. $\frac{\log_3 8}{\log_3 16} = \frac{\log_3 2^3}{\log_3 2^4} = \frac{3 \cdot \log_3 2}{4 \cdot \log_3 2} = \frac{3}{4} = 0,75$
2. $\frac{\log_5 27}{\log_5 9} = \frac{\log_5 3^3}{\log_5 3^2} = \frac{3 \cdot \log_5 3}{2 \cdot \log_5 3} = \frac{3}{2} = 1,5$
3. $\frac{\log_5 36 — \log_5 12}{\log_5 9} = \frac{\log_5 \frac{36}{12}}{\log_5 3^2} = \frac{\log_5 3}{2 \cdot \log_5 3} = \frac{1}{2} = 0,5$
4. $\frac{\log_7 8}{\log_7 15 — \log_7 30} = \frac{\log_7 8}{\log_7 \frac{15}{30}} = \frac{\log_7 8}{\log_7 \frac{1}{2}} = \frac{\log_7 2^3}{\log_7 2^{-1}} = \frac{3 \cdot \log_7 2}{-1 \cdot \log_7 2} = -3$

1) $\frac{\log_3 8}{\log_3 16}$

Шаг 1. Представим числа 8 и 16 в виде степеней числа 2, так как оба числа — степени двойки:

$$8 = 2^3, \quad 16 = 2^4$$

Шаг 2. Подставим эти выражения в логарифмы:

$$\frac{\log_3 2^3}{\log_3 2^4}$$

Шаг 3. Воспользуемся свойством логарифма степени:

$$\log_a b^c = c \cdot \log_a b$$

Применяем к числителю и знаменателю:

$$\frac{3 \cdot \log_3 2}{4 \cdot \log_3 2}$$

Шаг 4. Так как $\log_3 2$ встречается и в числителе, и в знаменателе, сокращаем:

$$\frac{3}{4}$$

Шаг 5. Преобразуем в десятичную дробь:

$$\frac{3}{4} = 0{,}75$$

Ответ:

$$\boxed{0{,}75}$$

2) $\frac{\log_5 27}{\log_5 9}$

Шаг 1. Представим числа 27 и 9 через степень числа 3:

$$27 = 3^3, \quad 9 = 3^2$$

Шаг 2. Подставляем в выражение:

$$\frac{\log_5 3^3}{\log_5 3^2}$$

Шаг 3. Применяем свойство логарифма степени:

$$\frac{3 \cdot \log_5 3}{2 \cdot \log_5 3}$$

Шаг 4. Сокращаем $\log_5 3$:

$$\frac{3}{2}$$

Шаг 5. Переводим в десятичную дробь:

$$\frac{3}{2} = 1{,}5$$

Ответ:

$$\boxed{1{,}5}$$

3) $\frac{\log_5 36 — \log_5 12}{\log_5 9}$

Шаг 1. Применим свойство вычитания логарифмов:

$$\log_a b — \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$$

Значит:

$$\frac{\log_5 \frac{36}{12}}{\log_5 9}$$

Шаг 2. Упрощаем дробь:

$$\frac{36}{12} = 3$$

Шаг 3. Подставляем:

$$\frac{\log_5 3}{\log_5 9}$$

Шаг 4. Представляем 9 как степень 3:

$$9 = 3^2$$

Шаг 5. Подставляем:

$$\frac{\log_5 3}{\log_5 3^2}$$

Шаг 6. Применяем свойство логарифма степени к знаменателю:

$$\frac{\log_5 3}{2 \cdot \log_5 3}$$

Шаг 7. Сокращаем $\log_5 3$:

$$\frac{1}{2}$$

Шаг 8. Переводим в десятичную дробь:

$$0{,}5$$

Ответ:

$$\boxed{0{,}5}$$

4) $\frac{\log_7 8}{\log_7 15 — \log_7 30}$

Шаг 1. Воспользуемся свойством вычитания логарифмов:

$$\log_a b — \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$$

Значит:

$$\frac{\log_7 8}{\log_7 \frac{15}{30}}$$

Шаг 2. Упрощаем дробь внутри логарифма:

$$\frac{15}{30} = \frac{1}{2}$$

Шаг 3. Подставляем:

$$\frac{\log_7 8}{\log_7 \frac{1}{2}}$$

Шаг 4. Представляем 8 и $\frac{1}{2}$ как степени числа 2:

$$8 = 2^3, \quad \frac{1}{2} = 2^{-1}$$

Шаг 5. Подставляем в логарифмы:

$$\frac{\log_7 2^3}{\log_7 2^{-1}}$$

Шаг 6. Применяем свойство логарифма степени:

$$\frac{3 \cdot \log_7 2}{-1 \cdot \log_7 2}$$

Шаг 7. Сокращаем $\log_7 2$:

$$\frac{3}{-1} = -3$$

Ответ:

$$\boxed{-3}$$