ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 291 Алимов — Подробные Ответы

1. log2(15) — log2(15/16);
2. log5(75) — log5(3);
3. log1/3(54) — log1/3(2);
4. log8(1/16) — log8(32).

1. $\log_2 15 — \log_2 \frac{15}{16} = \log_2 \left( 15 : \frac{15}{16} \right) = \log_2 16 = \log_2 2^4 = 4$;
2. $\log_5 75 — \log_5 3 = \log_5 \frac{75}{3} = \log_5 25 = \log_5 5^2 = 2$;
3. $\log_{\frac{1}{3}} 54 — \log_{\frac{1}{3}} 2 = \log_{\frac{1}{3}} \frac{54}{2} = \log_{\frac{1}{3}} 27 = \log_{\frac{1}{3}} 3^3 = \log_{\frac{1}{3}} \left( \frac{1}{3} \right)^{-3} = -3$;
4. $\log_8 \frac{1}{16} — \log_8 32 = \log_8 \left( \frac{1}{16} : 32 \right) = \log_8 \frac{1}{512} = \log_8 8^{-3} = -3$

Общие сведения о логарифмах

Логарифм — это обратная операция возведения в степень. Если

$$\log_a b = c,$$

то это означает, что

$$a^c = b,$$

где $a$ — основание логарифма (должно быть положительным и не равным 1), а $b$ — аргумент логарифма (тоже должен быть положительным).

Одно из основных свойств логарифмов — преобразование суммы или разности логарифмов в логарифм произведения или частного:

$$\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$$

и

$$\log_a b — \log_a c = \log_a \left(\frac{b}{c}\right).$$

1) Вычислить

$$\log_2 15 — \log_2 \frac{15}{16}$$

Шаг 1: Применяем свойство разности логарифмов

Так как основания логарифмов равны (оба — 2), используем:

$$\log_2 15 — \log_2 \frac{15}{16} = \log_2 \left(\frac{15}{\frac{15}{16}}\right).$$

Шаг 2: Вычисляем деление внутри логарифма

Деление дроби $\frac{15}{\frac{15}{16}}$ — это умножение на обратное число:

$$\frac{15}{\frac{15}{16}} = 15 \times \frac{16}{15} = 16.$$

Шаг 3: Итого

$$\log_2 16.$$

Шаг 4: Представляем число 16 как степень 2

Известно, что

$$16 = 2^4.$$

Шаг 5: Применяем определение логарифма

$$\log_2 2^4 = 4,$$

потому что $2^4 = 16$.

Ответ:

$$4.$$

2) Вычислить

$$\log_5 75 — \log_5 3$$

Шаг 1: Применяем свойство разности логарифмов

$$\log_5 75 — \log_5 3 = \log_5 \frac{75}{3}.$$

Шаг 2: Вычисляем частное

$$\frac{75}{3} = 25.$$

Шаг 3: Итого

$$\log_5 25.$$

Шаг 4: Представляем 25 как степень 5

$$25 = 5^2.$$

Шаг 5: Используем определение логарифма

$$\log_5 5^2 = 2.$$

Ответ:

$$2.$$

3) Вычислить

$$\log_{\frac{1}{3}} 54 — \log_{\frac{1}{3}} 2$$

Шаг 1: Применяем свойство разности логарифмов

$$\log_{\frac{1}{3}} 54 — \log_{\frac{1}{3}} 2 = \log_{\frac{1}{3}} \frac{54}{2}.$$

Шаг 2: Вычисляем частное

$$\frac{54}{2} = 27.$$

Шаг 3: Итого

$$\log_{\frac{1}{3}} 27.$$

Шаг 4: Представляем 27 и основание логарифма через степени числа 3

$$27 = 3^3,$$ $$\frac{1}{3} = 3^{-1}.$$

Шаг 5: Переписываем логарифм

$$\log_{\frac{1}{3}} 27 = \log_{3^{-1}} 3^3.$$

Шаг 6: Используем свойство логарифмов с изменённым основанием и степенями

Для любых положительных чисел $a$ (не равных 1), и любых чисел $m,n$:

$$\log_{a^m} a^n = \frac{n}{m}.$$

Шаг 7: Применяем свойство

$$\log_{3^{-1}} 3^3 = \frac{3}{-1} = -3.$$

Ответ:

$$-3.$$

4) Вычислить

$$\log_8 \frac{1}{16} — \log_8 32$$

Шаг 1: Применяем свойство разности логарифмов

$$\log_8 \frac{1}{16} — \log_8 32 = \log_8 \left(\frac{\frac{1}{16}}{32}\right).$$

Шаг 2: Вычисляем частное

$$\frac{\frac{1}{16}}{32} = \frac{1}{16} \times \frac{1}{32} = \frac{1}{512}.$$

Шаг 3: Итого

$$\log_8 \frac{1}{512}.$$

Шаг 4: Представляем 8 и 512 через степени числа 2

$$8 = 2^3,$$ $$512 = 2^9.$$

Шаг 5: Представляем $\frac{1}{512}$ как степень числа 2

$$\frac{1}{512} = 2^{-9}.$$

Шаг 6: Переписываем логарифм

$$\log_8 \frac{1}{512} = \log_{2^3} 2^{-9}.$$

Шаг 7: Используем свойство логарифма степени

$$\log_{a^m} a^n = \frac{n}{m}.$$

Шаг 8: Применяем

$$\log_{2^3} 2^{-9} = \frac{-9}{3} = -3.$$

Ответ:

$$-3.$$

Итоговые ответы:

1. $4$
2. $2$
3. $-3$
4. $-3$