ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 290 Алимов — Подробные Ответы

Вычислить (290-294).

1. log10(5) + log10(2);
2. log10(8) + log10(125);
3. log12(2) + log12(72);
4. log3(6) + log3(3/2).

1. $\log_{10} 5 + \log_{10} 2 = \log_{10}(5 \cdot 2) = \log_{10} 10 = 1$;
2. $\log_{10} 8 + \log_{10} 125 = \log_{10}(8 \cdot 125) = \log_{10} 1000 = \log_{10} 10^3 = 3$;
3. $\log_{12} 2 + \log_{12} 72 = \log_{12}(2 \cdot 72) = \log_{12} 144 = \log_{12} 12^2 = 2$;
4. $\log_3 6 + \log_3 \frac{3}{2} = \log_3 \left( 6 \cdot \frac{3}{2} \right) = \log_3 9 = \log_3 3^2 = 2$

Логарифм $\log_a b$ — это показатель степени, в которую надо возвести число $a$ (основание логарифма), чтобы получить число $b$ (аргумент логарифма). Формально:

$$\log_a b = c \iff a^c = b$$

У логарифмов есть много важных свойств. Одно из главных — свойство произведения:

$$\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$$

при условии, что основания логарифмов равны, и $a > 0, a \neq 1$, а аргументы положительны.

1) Вычислить:

$$\log_{10} 5 + \log_{10} 2$$

Пояснение:
Здесь оба логарифма имеют одинаковое основание $10$, значит, можно использовать свойство суммы логарифмов:

$$\log_{10} 5 + \log_{10} 2 = \log_{10}(5 \times 2)$$

Вычислим произведение подлогарифмических чисел:

$$5 \times 2 = 10$$

Теперь у нас:

$$\log_{10} 10$$

По определению логарифма:

$$\log_{10} 10 = 1$$

потому что $10^1 = 10$.

Ответ:

$$1$$

2) Вычислить:

$$\log_{10} 8 + \log_{10} 125$$

Пояснение:
Применяем то же свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием $10$:

$$\log_{10} 8 + \log_{10} 125 = \log_{10} (8 \times 125)$$

Вычислим произведение:

$$8 \times 125 = 1000$$

Теперь:

$$\log_{10} 1000$$

Представим 1000 в виде степени числа 10:

$$1000 = 10^3$$

По определению логарифма:

$$\log_{10} 10^3 = 3$$

Ответ:

$$3$$

3) Вычислить:

$$\log_{12} 2 + \log_{12} 72$$

Пояснение:
Используем свойство суммы логарифмов с основанием 12:

$$\log_{12} 2 + \log_{12} 72 = \log_{12} (2 \times 72)$$

Вычислим произведение:

$$2 \times 72 = 144$$

Теперь:

$$\log_{12} 144$$

Найдём, можно ли представить 144 как степень 12:

$$12^2 = 144$$

Значит:

$$\log_{12} 144 = \log_{12} 12^2 = 2$$

Ответ:

$$2$$

4) Вычислить:

$$\log_3 6 + \log_3 \frac{3}{2}$$

Пояснение:
Используем свойство суммы логарифмов с основанием 3:

$$\log_3 6 + \log_3 \frac{3}{2} = \log_3 \left(6 \times \frac{3}{2}\right)$$

Вычислим произведение подлогарифмических чисел:

$$6 \times \frac{3}{2} = \frac{6 \times 3}{2} = \frac{18}{2} = 9$$

Теперь:

$$\log_3 9$$

Представим 9 как степень числа 3:

$$9 = 3^2$$

По определению логарифма:

$$\log_3 3^2 = 2$$

Ответ:

$$2$$

Итог:

Во всех задачах применялось одно и то же важное свойство логарифмов — сумма логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму произведения аргументов. После этого была использована способность представлять числа под логарифмом в виде степеней основания логарифма, чтобы легко вычислить значение.