ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 288 Алимов — Подробные Ответы

При каких значениях x имеет смысл выражение:

1. logx(2x-1);
2. log(x-1)(x+1)?

Логарифм вида ${\log }_{a}b$ определен при $a>0$, $a\mathrm{\ne }1$ и $b>0$.

1. ${\log }_x(2x-1)$;
   Выражение имеет смысл при:
   $x>0$ и $x\mathrm{\ne }1$;
   Выражение имеет смысл при:
   $2x-1>0$;
   $2x>1$, отсюда $x>0.5$;
   Ответ: $0.5<x<1$; $x>1$.
2. ${\log }_{x-1}(x+1)$;
   Выражение имеет смысл при:
   $x-1>0$, отсюда $x>1$;
   $x-1\mathrm{\ne }1$, отсюда $x\mathrm{\ne }2$;
   Выражение имеет смысл при:
   $x+1>0$, отсюда $x>-1$;
   Ответ: $1<x<2$; $x>2$.

Для логарифма вида ${\log }_{a}b$ определены следующие условия области определения (ОДЗ):

• Основание логарифма $a$ должно быть положительным и не равным 1:$$a>0,a\mathrm{\ne }1$$
• Аргумент логарифма $b$ должен быть строго положительным:$$b>0$$

Задача 1

Исследовать область определения выражения:

$${\log }_x(2x-1)$$

Шаг 1: Условие на основание логарифма $x$

• $x>0$, потому что основание должно быть положительным.
• $x\mathrm{\ne }1$, так как основание не может равняться 1.

Итого:

$$x>0,x\mathrm{\ne }1$$

Шаг 2: Условие на аргумент логарифма $2x-1$

Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$$2x-1>0$$

Решим неравенство:

$$2x>1⟹x>\frac{1}{2}=0.5$$

Шаг 3: Совместим оба условия

Область определения — значения $x$, удовлетворяющие одновременно условиям:

• $x>0$, $x\mathrm{\ne }1$
• $x>0.5$

Из них очевидно, что условие $x>0.5$ более строгое, чем $x>0$.

Следовательно, область определения:

$$x>0.5,x\mathrm{\ne }1$$

Шаг 4: Запишем ответ

Область определения состоит из двух интервалов:

$$(0.5,1)\cup (1,+\mathrm{\infty })$$

Задача 2

Исследовать область определения выражения:

$${\log }_{x-1}(x+1)$$

Шаг 1: Условие на основание логарифма $x-1$

• Основание должно быть положительным:$$x-1>0⟹x>1$$
• Основание не может равняться 1:$$x-1\mathrm{\ne }1⟹x\mathrm{\ne }2$$

Шаг 2: Условие на аргумент логарифма $x+1$

Аргумент должен быть положительным:

$$x+1>0⟹x>-1$$

Шаг 3: Совместим оба условия

• Из условия основания:$$x>1,x\mathrm{\ne }2$$
• Из условия аргумента:$$x>-1$$

Так как $x>1$ сильнее (строже), чем $x>-1$, то учитываем только

$$x>1$$

И исключаем $x=2$.

Шаг 4: Запишем ответ

Область определения — все $x$ из множества:

$$(1,2)\cup (2,+\mathrm{\infty })$$