ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 285 Алимов — Подробные Ответы

Решить уравнение (285-287).

1. 2^x=5;
2. 1,2^x=4;
3. 4^(2x+3)=5;
4. 7^(1-2x)=2.

1. $2^x = 5$;
   $\log_2 2^x = \log_2 5$;
   $x = \log_2 5$;
2. $1.2^x = 4$;
   $\log_{1.2} 1.2^x = \log_{1.2} 4$;
   $x = \log_{1.2} 4$;
3. $4^{2x+3} = 5$;
   $\log_4 4^{2x+3} = \log_4 5$;
   $2x + 3 = \log_4 5$;
   $2x = \log_4 5 — 3$;
   $x = \frac{1}{2} (\log_4 5 — 3)$;
4. $7^{1-2x} = 2$;
   $\log_7 7^{1-2x} = \log_7 2$;
   $1 — 2x = \log_7 2$;
   $2x = 1 — \log_7 2$;
   $x = \frac{1}{2} (1 — \log_7 2)$.

1) $2^x = 5$

Шаг 1: Преобразуем в логарифмическую форму

Используем определение логарифма:
Если $a^x = b$, то $x = \log_a b$

Применим к нашему уравнению:

$$x = \log_2 5$$

Шаг 2: Проверка преобразования

$$\log_2 2^x = \log_2 5 \Rightarrow x = \log_2 5$$

Ответ:

$$\boxed{x = \log_2 5}$$

2) $1.2^x = 4$

Шаг 1: Основание не целое, но всё ещё положительное и ≠1

Применим логарифм с основанием $1.2$ к обеим частям:

$$\log_{1.2} (1.2^x) = \log_{1.2} 4$$

Шаг 2: Свойство логарифма

$$\log_{a}(a^x) = x \Rightarrow x = \log_{1.2} 4$$

Ответ:

$$\boxed{x = \log_{1.2} 4}$$

3) $4^{2x+3} = 5$

Шаг 1: Преобразуем с помощью логарифма

Возьмём логарифм с основанием 4 от обеих сторон:

$$\log_4(4^{2x+3}) = \log_4(5)$$

Шаг 2: Применим свойство:

$$\log_4(4^{2x+3}) = 2x + 3 \Rightarrow 2x + 3 = \log_4 5$$

Шаг 3: Решим относительно $x$

$$2x = \log_4 5 — 3 \Rightarrow x = \frac{1}{2}(\log_4 5 — 3)$$

Ответ:

$$\boxed{x = \frac{1}{2}(\log_4 5 — 3)}$$

4) $7^{1 — 2x} = 2$

Шаг 1: Логарифмируем обе части с основанием 7

$$\log_7(7^{1 — 2x}) = \log_7(2)$$

Шаг 2: Применим свойство логарифма

$$\log_7(7^{1 — 2x}) = 1 — 2x \Rightarrow 1 — 2x = \log_7 2$$

Шаг 3: Решаем относительно $x$

$$2x = 1 — \log_7 2 \Rightarrow x = \frac{1}{2}(1 — \log_7 2)$$

Ответ:

$$\boxed{x = \frac{1}{2}(1 — \log_7 2)}$$