ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 284 Алимов — Подробные Ответы

1. log3(1-x3);
2. log2(x3+8);
3. log1/4(x3+x2-6x);
4. log1/3(x3+x2-2x).

1. $\log_3 (1 — x^3)$;
   Выражение имеет смысл при:
   $1 — x^3 > 0$;
   $-x^3 > -1$;
   $x^3 < 1$, отсюда $x < 1$;
   Ответ: $x < 1$.
2. $\log_2 (x^3 + 8)$;
   Выражение имеет смысл при:
   $x^3 + 8 > 0$;
   $x^3 > -8$, отсюда $x > -2$;
   Ответ: $x > -2$.
3. $\log_{\frac{1}{4}} (x^3 + x^2 — 6x)$;
   Выражение имеет смысл при:
   $x^3 + x^2 — 6x > 0$;
   $x(x^2 + x — 6) > 0$;
   $D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25$, тогда:
   $x_1 = \frac{-1 — 5}{2} = -3$ и $x_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2$;
   $(x + 3) \cdot x \cdot (x — 2) > 0$;
   $-3 < x < 0$ и $x > 2$;
   Ответ: $-3 < x < 0$; $x > 2$.
4. $\log_{\frac{1}{3}} (x^3 + x^2 — 2x)$;
   Выражение имеет смысл при:
   $x^3 + x^2 — 2x > 0$;
   $x(x^2 + x — 2) > 0$;
   $D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9$, тогда:
   $x_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2$ и $x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1$;
   $(x + 2) \cdot x \cdot (x — 1) > 0$;
   $-2 < x < 0$ и $x > 1$;
   Ответ: $-2 < x < 0$; $x > 1$.

1) $\log_3 (1 — x^3)$

Шаг 1: Условие существования логарифма

Логарифм $\log_a(b)$ определён тогда и только тогда, когда:

• Основание $a > 0$, $a \ne 1$,
• Подлогарифмическое выражение $b > 0$.

В данном случае основание $3 > 0$, $3 \ne 1$ — всё верно.

Проверим подлогарифмическое выражение:

$$1 — x^3 > 0$$

Шаг 2: Решение неравенства

$$1 — x^3 > 0 \Rightarrow -x^3 > -1 \Rightarrow x^3 < 1$$

Куб обеих частей сохраняет знак (монотонность возведения в третью степень), поэтому:

$$x < 1$$

Ответ:

$$\boxed{x < 1}$$

2) $\log_2 (x^3 + 8)$

Шаг 1: Условие существования логарифма

Проверим, при каких $x$ подлогарифмическое выражение положительно:

$$x^3 + 8 > 0$$

Шаг 2: Решение неравенства

$$x^3 + 8 > 0 \Rightarrow x^3 > -8 \Rightarrow x > -2$$

Куб — строго возрастающая функция, поэтому знак сохраняется при извлечении корня.

Ответ:

$$\boxed{x > -2}$$

3) $\log_{\frac{1}{4}} (x^3 + x^2 — 6x)$

Шаг 1: Условия существования логарифма

• Основание $\frac{1}{4} > 0$, $\ne 1$ — корректное.
• Подлогарифмическое выражение должно быть положительным:

  $$x^3 + x^2 — 6x > 0$$

Шаг 2: Разложение выражения

Вынесем $x$ за скобку:

$$x(x^2 + x — 6) > 0$$

Разложим квадратный трёхчлен:

$$x^2 + x — 6 = (x + 3)(x — 2) \Rightarrow x(x + 3)(x — 2) > 0$$

Шаг 3: Метод интервалов

Найдём нули: $x = -3, 0, 2$
Рассматриваем знаки на интервалах:
$(-\infty, -3)$, $(-3, 0)$, $(0, 2)$, $(2, \infty)$

Таблица знаков:

Подходит, где результат положительный:

• $-3 < x < 0$
• $x > 2$

Ответ:

$$\boxed{-3 < x < 0;\quad x > 2}$$

4) $\log_{\frac{1}{3}} (x^3 + x^2 — 2x)$

Шаг 1: Условия существования логарифма

Основание: $\frac{1}{3} > 0$, $\ne 1$ — подходит.

Подлогарифмическое выражение:

$$x^3 + x^2 — 2x > 0$$

Шаг 2: Разложение на множители

Вынесем $x$:

$$x(x^2 + x — 2) > 0$$

Решим квадратный трёхчлен:

$$x^2 + x — 2 = (x + 2)(x — 1) \Rightarrow x(x + 2)(x — 1) > 0$$

Шаг 3: Метод интервалов

Нули выражения: $-2, 0, 1$

Интервалы:
$(-\infty, -2)$, $(-2, 0)$, $(0, 1)$, $(1, \infty)$

Таблица знаков:

Подходит, где произведение положительно:

• $-2 < x < 0$
• $x > 1$

Ответ:

$$\boxed{-2 < x < 0;\quad x > 1}$$