ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 282 Алимов — Подробные Ответы

Решить уравнение:

1. logx(27) =3;
2. logx(1/7) =-1;
3. logx(корень 5) =-4.

1. $\log_x 27 = 3$;
   $\log_x 27 = \log_x x^3$;
   $27 = x^3$;
   $x = \sqrt[3]{27} = 3$;
   Ответ: $x = 3$.
2. $\log_x \frac{1}{7} = -1$;
   $\log_x \frac{1}{7} = \log_x x^{-1}$;
   $\frac{1}{7} = x^{-1}$;
   $\frac{1}{7} = \frac{1}{x}$, отсюда $x = 7$;
   Ответ: $x = 7$.
3. $\log_x \sqrt{5} = -4$;
   $\log_x \sqrt{5} = \log_x x^{-4}$;
   $\sqrt{5} = x^{-4}$;
   $\sqrt{5} = \frac{1}{x^4}$;
   $x^4 = \frac{1}{\sqrt{5}}$;
   $x = \sqrt[4]{\frac{1}{\sqrt{5}}} = \sqrt[4]{5^{-\frac{1}{2}}} = 5^{-\frac{1}{2} : 4} = 5^{-\frac{1}{8}}$;
   Ответ: $x = 5^{-\frac{1}{8}}$.

Задача 1:

$$\log_x 27 = 3$$

1. Преобразование логарифмического выражения в экспоненциальную форму:
   Мы знаем, что логарифм $\log_x a = b$ можно переписать как $x^b = a$. Поэтому в данном случае:

   $$\log_x 27 = 3 \quad \Rightarrow \quad x^3 = 27$$

2. Решение для $x$:
   Теперь нужно решить уравнение $x^3 = 27$. Для этого извлекаем кубический корень из обеих сторон:

   $$x = \sqrt[3]{27}$$

3. Вычисление корня:
   Поскольку $27 = 3^3$, то кубический корень из 27 равен 3:

   $$x = 3$$

Таким образом, решение задачи:

$$x = 3$$

Задача 2:

$$\log_x \frac{1}{7} = -1$$

1. Преобразование логарифмического выражения в экспоненциальную форму:
   Мы опять применяем тот же принцип: $\log_x a = b$ преобразуется в $x^b = a$. В данном случае:

   $$\log_x \frac{1}{7} = -1 \quad \Rightarrow \quad x^{-1} = \frac{1}{7}$$

2. Решение для $x$:
   Уравнение $x^{-1} = \frac{1}{7}$ означает, что $x$ — это обратное число к $\frac{1}{7}$. Для того чтобы найти $x$, можем записать:

   $$\frac{1}{x} = \frac{1}{7} \quad \Rightarrow \quad x = 7$$

Таким образом, решение задачи:

$$x = 7$$

Задача 3:

$$\log_x \sqrt{5} = -4$$

1. Преобразование логарифмического выражения в экспоненциальную форму:
   Применяем аналогичный подход, преобразуя логарифм в экспоненциальное уравнение:

   $$\log_x \sqrt{5} = -4 \quad \Rightarrow \quad x^{-4} = \sqrt{5}$$

2. Решение для $x$:
   $\sqrt{5}$ можно записать как $5^{1/2}$. Таким образом, у нас получается уравнение:

   $$x^{-4} = 5^{1/2}$$

   Теперь умножим обе части уравнения на $x^4$, чтобы избавиться от отрицательной степени:

   $$1 = x^4 \cdot 5^{1/2}$$

   Разделим обе стороны на $5^{1/2}$:

   $$x^4 = \frac{1}{\sqrt{5}}$$

3. Решение для $x$:
   Чтобы найти $x$, извлекаем 4-й корень из обеих сторон уравнения:

   $$x = \sqrt[4]{\frac{1}{\sqrt{5}}}$$

   Это выражение можно упростить:

   $$x = \sqrt[4]{5^{-\frac{1}{2}}}$$

   Используя свойства степеней:

   $$x = 5^{-\frac{1}{2} \div 4} = 5^{-\frac{1}{8}}$$

Таким образом, решение задачи:

$$x = 5^{-\frac{1}{8}}$$

Итоговое решение:

1. $x = 3$
2. $x = 7$
3. $x = 5^{-\frac{1}{8}}$