ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 277 Алимов — Подробные Ответы

1. log6(x) = 3;
2. log5(x) = 4;
3. log2(5-x) = 3;
4. log3(x+2) = 3;
5. log1/6(0,5x+x) = -1

1. $\log_{6} x = 3$;
   $\log_{6} x = \log_{6} 6^{3}$;
   $x = 6^{3} = 216$;
   Ответ: $x = 216$.
2. $\log_{5} x = 4$;
   $\log_{5} x = \log_{5} 5^{4}$;
   $x = 5^{4} = 625$;
   Ответ: $x = 625$.
3. $\log_{2}(5 — x) = 3$;
   $\log_{2}(5 — x) = \log_{2} 2^{3}$;
   $5 — x = 2^{3}$;
   $5 — x = 8$;
   $-x = 3$, отсюда $x = -3$;
   Ответ: $x = -3$.
4. $\log_{3}(x + 2) = 3$;
   $\log_{3}(x + 2) = \log_{3} 3^{3}$;
   $x + 2 = 3^{3}$;
   $x + 2 = 27$, отсюда $x = 25$;
   Ответ: $x = 25$.
5. $\log_{\frac{1}{6}}(0,5 + x) = -1$;
   $\log_{\frac{1}{6}}(0,5 + x) = \log_{\frac{1}{6}} \left( \frac{1}{6} \right)^{-1}$;
   $0,5 + x = \left( \frac{1}{6} \right)^{-1}$;
   $0,5 + x = 6$, отсюда $x = 5,5$;
   Ответ: $x = 5,5$.

Задача 1) $\log_6 x = 3$

Шаг 1: Переводим логарифмическое уравнение в экспоненциальную форму

Логарифмическое уравнение $\log_6 x = 3$ можно переписать в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Определение логарифма гласит:

$$\log_a b = c \quad \text{означает} \quad a^c = b.$$

В нашем случае основание логарифма $6$, результат $x$, а показатель степени $3$. Следовательно, мы можем записать:

$$x = 6^3.$$

Шаг 2: Вычисляем $6^3$

Теперь вычислим $6^3$:

$$6^3 = 6 \times 6 \times 6 = 216.$$

Ответ: $x = 216$.

Задача 2) $\log_5 x = 4$

Шаг 1: Переводим логарифмическое уравнение в экспоненциальную форму

Согласно определению логарифма, мы можем перевести уравнение $\log_5 x = 4$ в экспоненциальную форму:

$$x = 5^4.$$

Шаг 2: Вычисляем $5^4$

Теперь вычислим $5^4$:

$$5^4 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 625.$$

Ответ: $x = 625$.

Задача 3) $\log_2 (5 — x) = 3$

Шаг 1: Переводим логарифмическое уравнение в экспоненциальную форму

Переводим уравнение $\log_2 (5 — x) = 3$ в экспоненциальную форму:

$$5 — x = 2^3.$$

Шаг 2: Вычисляем $2^3$

Вычисляем значение $2^3$:

$$2^3 = 8.$$

Таким образом, получаем:

$$5 — x = 8.$$

Шаг 3: Решаем для $x$

Теперь решим для $x$:

$$5 — x = 8 \quad \Rightarrow \quad -x = 8 — 5 \quad \Rightarrow \quad -x = 3 \quad \Rightarrow \quad x = -3.$$

Ответ: $x = -3$.

Задача 4) $\log_3 (x + 2) = 3$

Шаг 1: Переводим логарифмическое уравнение в экспоненциальную форму

Переводим уравнение $\log_3 (x + 2) = 3$ в экспоненциальную форму:

$$x + 2 = 3^3.$$

Шаг 2: Вычисляем $3^3$

Вычисляем значение $3^3$:

$$3^3 = 27.$$

Таким образом, получаем:

$$x + 2 = 27.$$

Шаг 3: Решаем для $x$

Теперь решим для $x$:

$$x + 2 = 27 \quad \Rightarrow \quad x = 27 — 2 \quad \Rightarrow \quad x = 25.$$

Ответ: $x = 25$.

Задача 5) $\log_{\frac{1}{6}} (0.5 + x) = -1$

Шаг 1: Переводим логарифмическое уравнение в экспоненциальную форму

Переводим уравнение $\log_{\frac{1}{6}} (0.5 + x) = -1$ в экспоненциальную форму:

$$0.5 + x = \left( \frac{1}{6} \right)^{-1}.$$

Шаг 2: Вычисляем $\left( \frac{1}{6} \right)^{-1}$

По свойству степеней $a^{-1} = \frac{1}{a}$, получаем:

$$\left( \frac{1}{6} \right)^{-1} = 6.$$

Таким образом, у нас получается:

$$0.5 + x = 6.$$

Шаг 3: Решаем для $x$

Теперь решим для $x$:

$$0.5 + x = 6 \quad \Rightarrow \quad x = 6 — 0.5 \quad \Rightarrow \quad x = 5.5.$$

Ответ: $x = 5.5$.

Итоги:

1. $\log_6 x = 3 \quad \Rightarrow \quad x = 216$
2. $\log_5 x = 4 \quad \Rightarrow \quad x = 625$
3. $\log_2 (5 — x) = 3 \quad \Rightarrow \quad x = -3$
4. $\log_3 (x + 2) = 3 \quad \Rightarrow \quad x = 25$
5. $\log_{\frac{1}{6}} (0.5 + x) = -1 \quad \Rightarrow \quad x = 5.5$