ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 275 Алимов — Подробные Ответы

1. 3^(5log3(2));
2. (1/2)^(6log1/2(2));
3. 0,3^(2log0,3(6));
4. 7^(1/2log7(9)).

Определение логарифма можно записать так: $a^{\log_{a} b} = b$;

1. $3^{5 \log_{3} 2} = (3^{\log_{3} 2})^{5} = 2^{5} = 32$;
2. $\left( \frac{1}{2} \right)^{6 \log_{\frac{1}{2}} 2} = \left( \left( \frac{1}{2} \right)^{\log_{\frac{1}{2}} 2} \right)^{6} = 2^{6} = 64$;
3. $0,3^{2 \log_{0,3} 6} = (0,3^{\log_{0,3} 6})^{2} = 6^{2} = 36$;
4. $7^{\frac{1}{2} \log_{7} 9} = \left( 7^{\log_{7} 9} \right)^{\frac{1}{2}} = 9^{\frac{1}{2}} = (3^{2})^{\frac{1}{2}} = 3$

Задача 1) $3^{5 \log_{3} 2}$

Шаг 1: Используем свойства логарифмов

В данной задаче нам нужно использовать известное свойство логарифмов:

$$a^{\log_a b} = b.$$

Это свойство позволяет упростить выражение. Однако, в нашем случае присутствует множитель 5 перед логарифмом, поэтому сначала применим его.

$$3^{5 \log_{3} 2} = \left( 3^{\log_{3} 2} \right)^5.$$

Шаг 2: Упростим $3^{\log_3 2}$

Согласно свойству логарифмов:

$$3^{\log_{3} 2} = 2.$$

Таким образом, мы получаем:

$$\left( 3^{\log_{3} 2} \right)^5 = 2^5.$$

Шаг 3: Вычисляем $2^5$

Теперь вычислим $2^5$:

$$2^5 = 32.$$

Ответ: $3^{5 \log_{3} 2} = 32$.

Задача 2) $\left( \frac{1}{2} \right)^{6 \log_{\frac{1}{2}} 2}$

Шаг 1: Используем аналогичное свойство логарифма

Используем свойство логарифмов, аналогичное тому, что использовали в первой задаче:

$$a^{\log_a b} = b.$$

В нашем случае основание логарифма — $\frac{1}{2}$, и перед логарифмом стоит множитель 6. Сначала выделим этот множитель:

$$\left( \frac{1}{2} \right)^{6 \log_{\frac{1}{2}} 2} = \left( \left( \frac{1}{2} \right)^{\log_{\frac{1}{2}} 2} \right)^6.$$

Шаг 2: Упростим $\left( \frac{1}{2} \right)^{\log_{\frac{1}{2}} 2}$

Согласно свойству логарифмов:

$$\left( \frac{1}{2} \right)^{\log_{\frac{1}{2}} 2} = 2.$$

Таким образом, мы получаем:

$$\left( 2 \right)^6 = 2^6.$$

Шаг 3: Вычисляем $2^6$

Теперь вычислим $2^6$:

$$2^6 = 64.$$

Ответ: $\left( \frac{1}{2} \right)^{6 \log_{\frac{1}{2}} 2} = 64$.

Задача 3) $0,3^{2 \log_{0,3} 6}$

Шаг 1: Используем аналогичное свойство логарифма

Снова применим свойство логарифмов:

$$a^{\log_a b} = b.$$

В данном случае основание логарифма — $0,3$, и перед логарифмом стоит множитель 2. Мы сначала выделим этот множитель:

$$0,3^{2 \log_{0,3} 6} = \left( 0,3^{\log_{0,3} 6} \right)^2.$$

Шаг 2: Упростим $0,3^{\log_{0,3} 6}$

По свойству логарифмов:

$$0,3^{\log_{0,3} 6} = 6.$$

Таким образом, мы получаем:

$$6^2.$$

Шаг 3: Вычисляем $6^2$

Теперь вычислим $6^2$:

$$6^2 = 36.$$

Ответ: $0,3^{2 \log_{0,3} 6} = 36$.

Задача 4) $7^{\frac{1}{2} \log_{7} 9}$

Шаг 1: Используем аналогичное свойство логарифма

Используем свойство логарифмов для упрощения выражения:

$$a^{\log_a b} = b.$$

В нашем случае основание логарифма — 7, и перед логарифмом стоит множитель $\frac{1}{2}$. Мы сначала выделим этот множитель:

$$7^{\frac{1}{2} \log_{7} 9} = \left( 7^{\log_{7} 9} \right)^{\frac{1}{2}}.$$

Шаг 2: Упростим $7^{\log_7 9}$

Согласно свойству логарифмов:

$$7^{\log_{7} 9} = 9.$$

Таким образом, мы получаем:

$$9^{\frac{1}{2}}.$$

Шаг 3: Преобразуем $9^{\frac{1}{2}}$

$9$ — это $3^2$, поэтому:

$$9^{\frac{1}{2}} = \left( 3^2 \right)^{\frac{1}{2}} = 3.$$

Ответ: $7^{\frac{1}{2} \log_{7} 9} = 3$.

Итоги:

1. $3^{5 \log_{3} 2} = 32$
2. $\left( \frac{1}{2} \right)^{6 \log_{\frac{1}{2}} 2} = 64$
3. $0,3^{2 \log_{0,3} 6} = 36$
4. $7^{\frac{1}{2} \log_{7} 9} = 3$