ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 27 Алимов — Подробные Ответы

1. Найти арифметический квадратный корень из числа: 1; 0; 16; 0,81; 169; 1/ 289
2. Найти арифметический кубический корень из числа: 1; 0; 125; 1/27; 0,027; 0,064.
3. Найти арифметический корень четвёртой степени из числа: 0; 1; 16/81; 256/625; 0,0016.

1) Найти арифметический квадратный корень из чисел:

$1;0;16;\mathrm{0,81};169;\frac{1}{289};$

$$\sqrt{1}=\sqrt{1\cdot 1}=1;$$$$\sqrt{0}=\sqrt{0\cdot 0}=0;$$$$\sqrt{16}=\sqrt{4\cdot 4}=4;$$$$\sqrt{\mathrm{0,81}}=\sqrt{\frac{81}{100}}=\sqrt{\frac{9\cdot 9}{10\cdot 10}}=\frac{9}{10}=\mathrm{0,9};$$$$\sqrt{169}=\sqrt{13\cdot 13}=13;$$$$\sqrt{\frac{1}{289}}=\sqrt{\frac{1}{17\cdot 17}}=\sqrt{\frac{1}{17}\cdot \frac{1}{17}}=\frac{1}{17};$$

2) Найти арифметический кубический корень из чисел:

$1;0;125;\frac{1}{27};\mathrm{0,027};\mathrm{0,064};$

$$\sqrt[3]{1}=\sqrt[3]{1\cdot 1\cdot 1}=1;$$$$\sqrt[3]{0}=\sqrt[3]{0\cdot 0\cdot 0}=0;$$$$\sqrt[3]{125}=\sqrt[3]{5\cdot 5\cdot 5}=5;$$$$\sqrt[3]{\frac{1}{27}}=\sqrt[3]{\frac{1}{3\cdot 3\cdot 3}}=\sqrt[3]{\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}}=\frac{1}{3};$$$$\sqrt[3]{\mathrm{0,027}}=\sqrt[3]{\frac{27}{1000}}=\sqrt[3]{\frac{3\cdot 3\cdot 3}{10\cdot 10\cdot 10}}=\frac{3}{10}=\mathrm{0,3};$$$$\sqrt[3]{\mathrm{0,064}}=\sqrt[3]{\frac{64}{1000}}=\sqrt[3]{\frac{4\cdot 4\cdot 4}{10\cdot 10\cdot 10}}=\frac{4}{10}=\mathrm{0,4};$$

3) Найти арифметический корень четвёртой степени из чисел:

$0;1;16;\frac{16}{81};\frac{256}{625};\mathrm{0,0016};$

$$\sqrt[4]{0}=\sqrt[4]{0\cdot 0\cdot 0\cdot 0}=0;$$$$\sqrt[4]{1}=\sqrt[4]{1\cdot 1\cdot 1\cdot 1}=1;$$$$\sqrt[4]{16}=\sqrt[4]{2\cdot 2\cdot 2\cdot 2}=2;$$$$\sqrt[4]{\frac{16}{81}}=\sqrt[4]{\frac{2\cdot 2\cdot 2\cdot 2}{3\cdot 3\cdot 3\cdot 3}}=\sqrt[4]{\frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}}=\frac{2}{3};$$$$\sqrt[4]{\frac{256}{625}}=\sqrt[4]{\frac{4\cdot 4\cdot 4\cdot 4}{5\cdot 5\cdot 5\cdot 5}}=\sqrt[4]{\frac{4}{5}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{4}{5}}=\frac{4}{5};$$$$\sqrt[4]{\mathrm{0,0016}}=\sqrt[4]{\frac{16}{10000}}=\sqrt[4]{\frac{2\cdot 2\cdot 2\cdot 2}{10\cdot 10\cdot 10\cdot 10}}=\frac{2}{10}=\mathrm{0,2}$$

1. Нахождение арифметического квадратного корня из чисел:

Арифметический квадратный корень из числа $a$ обозначается как $\sqrt{a}$, и это такое число, что при его возведении в квадрат (то есть умножении на себя) получится число $a$.

1.1) $\sqrt{1}$:

• $1$ — это полное число, которое является квадратом самого себя.
• $\sqrt{1}=\sqrt{1\times 1}=1$.

1.2) $\sqrt{0}$:

• $0$ — это число, квадрат которого также равен 0.
• $\sqrt{0}=\sqrt{0\times 0}=0$.

1.3) $\sqrt{16}$:

• $16$ является полным квадратом числа $4$, так как $16=4\times 4$.
• $\sqrt{16}=\sqrt{4\times 4}=4$.

1.4) $\sqrt{0,81}$:

• $0,81=\frac{81}{100}$.
• Разделим число на числитель и знаменатель: $\sqrt{0,81}=\sqrt{\frac{81}{100}}$.
• $81=9\times 9$, и $100=10\times 10$, поэтому $\sqrt{0,81}=\frac{\sqrt{81}}{\sqrt{100}}=\frac{9}{10}=0,9$.

1.5) $\sqrt{169}$:

• $169$ является полным квадратом числа $13$, так как $169=13\times 13$.
• $\sqrt{169}=\sqrt{13\times 13}=13$.

1.6) $\sqrt{\frac{1}{289}}$:

• $289=17\times 17$, то есть $\frac{1}{289}=\frac{1}{17\times 17}$.
• $\sqrt{\frac{1}{289}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{289}}=\frac{1}{17}$.

2. Нахождение арифметического кубического корня из чисел:

Арифметический кубический корень из числа $a$ обозначается как $\sqrt[3]{a}$, и это такое число, что при его возведении в куб (то есть умножении на себя три раза) получится число $a$.

2.1) $\sqrt[3]{1}$:

• $1$ является кубом самого себя, так как $1=1\times 1\times 1$.
• $\sqrt[3]{1}=\sqrt[3]{1\times 1\times 1}=1$.

2.2) $\sqrt[3]{0}$:

• $0$ является кубом самого себя, так как $0=0\times 0\times 0$.
• $\sqrt[3]{0}=\sqrt[3]{0\times 0\times 0}=0$.

2.3) $\sqrt[3]{125}$:

• $125=5\times 5\times 5$, то есть $125$ — это полный куб числа $5$.
• $\sqrt[3]{125}=\sqrt[3]{5\times 5\times 5}=5$.

2.4) $\sqrt[3]{\frac{1}{27}}$:

• $27=3\times 3\times 3$, то есть $\frac{1}{27}=\frac{1}{3\times 3\times 3}$.
• $\sqrt[3]{\frac{1}{27}}=\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{27}}=\frac{1}{3}$.

2.5) $\sqrt[3]{0,027}$:

• $0,027=\frac{27}{1000}=\frac{3\times 3\times 3}{10\times 10\times 10}$.
• $\sqrt[3]{0,027}=\frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{1000}}=\frac{3}{10}=0,3$.

2.6) $\sqrt[3]{0,064}$:

• $0,064=\frac{64}{1000}=\frac{4\times 4\times 4}{10\times 10\times 10}$.
• $\sqrt[3]{0,064}=\frac{\sqrt[3]{64}}{\sqrt[3]{1000}}=\frac{4}{10}=0,4$.

3. Нахождение арифметического корня четвертой степени из чисел:

Арифметический корень четвертой степени из числа $a$ обозначается как $\sqrt[4]{a}$, и это такое число, что при его возведении в четвертую степень (то есть умножении на себя четыре раза) получится число $a$.

3.1) $\sqrt[4]{0}$:

• $0$ является корнем любой степени, так как $0^4=0$.
• $\sqrt[4]{0}=0$.

3.2) $\sqrt[4]{1}$:

• $1$ является корнем четвертой степени самого себя, так как $1^4=1$.
• $\sqrt[4]{1}=1$.

3.3) $\sqrt[4]{16}$:

• $16=2^4$, то есть $16$ — это полный корень четвертой степени от числа $2$.
• $\sqrt[4]{16}=2$.

3.4) $\sqrt[4]{\frac{16}{81}}$:

• $16=2^4$, $81=3^4$, поэтому $\frac{16}{81}=\frac{2^4}{3^4}$.
• $\sqrt[4]{\frac{16}{81}}=\frac{\sqrt[4]{16}}{\sqrt[4]{81}}=\frac{2}{3}$.

3.5) $\sqrt[4]{\frac{256}{625}}$:

• $256=4^4$, $625=5^4$, то есть $\frac{256}{625}=\frac{4^4}{5^4}$.
• $\sqrt[4]{\frac{256}{625}}=\frac{\sqrt[4]{256}}{\sqrt[4]{625}}=\frac{4}{5}$.

3.6) $\sqrt[4]{0,0016}$:

• $0,0016=\frac{16}{10000}=\frac{2^4}{{10}^4}$.
• $\sqrt[4]{0,0016}=\frac{\sqrt[4]{16}}{\sqrt[4]{10000}}=\frac{2}{10}=0,2$.

Заключение:

Все вычисления выполнены с использованием разложения чисел на множители, что значительно упрощает извлечение корней. Мы видим, что для каждого корня вычисление может быть ускорено, если число можно представить в виде произведения простых чисел.