ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 254 Алимов — Подробные Ответы

1. 2^-x =3x+10;
2. (1/3)^-x = 2x+5.

1)
$2^{-x} = 3x + 10;$
$y = (2)^{-x}$ — показательная функция:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & -3 & -2 & 0 \\ \hline y & 8 & 4 & 1 \\ \hline \end{array}$$

$y = 3x + 10$ — уравнение прямой:

$$\begin{array}{|c|c|} \hline x & -4 & -3 \\ \hline y & -2 & 1 \\ \hline \end{array}$$

Графики функций:

Ответ: $x = -2$.

2)
$\left( \frac{1}{3} \right)^{-x} = 2x + 5;$
$y = \left( \frac{1}{3} \right)^{-x} = 3^x$ — показательная функция:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & 1 & 3 & 9 \\ \hline \end{array}$$

$y = 3x + 10$ — уравнение прямой:

$$\begin{array}{|c|c|} \hline x & 0 & 1 \\ \hline y & 5 & 7 \\ \hline \end{array}$$

Графики функций:

Ответ: $x_1 \approx -2.5, \, x_2 = 2$.

Задача 1

Уравнение:

$$2^{-x} = 3x + 10$$

Шаг 1: Разберём, что нам даны за функции

У нас есть две функции:

$y = 2^{-x}$ — показательная функция, где основание $2$ больше 1, значит, эта функция будет убывающей. Для некоторых значений $x$ мы уже имеем значения $y$:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & -3 & -2 & 0 \\ \hline y & 8 & 4 & 1 \\ \hline \end{array}$$

Это значит, что при $x = -3$ $y = 8$, при $x = -2$ $y = 4$, а при $x = 0$ $y = 1$.

$y = 3x + 10$ — это линейная функция, у которой:

$$\begin{array}{|c|c|} \hline x & -4 & -3 \\ \hline y & -2 & 1 \\ \hline \end{array}$$

Этот график является прямой с угловым коэффициентом 3 и с пересечением с осью $y$ на уровне $10$.

Шаг 2: Построение графиков

Чтобы найти решение, давай рассмотрим графики обеих функций.

График $y = 2^{-x}$ будет убывающим, так как основание степени больше 1.

График $y = 3x + 10$ — прямая линия, с угловым коэффициентом 3 и пересечением с осью $y$ на $10$.

Тогда мы ищем точку пересечения этих двух графиков, то есть значение $x$, при котором $2^{-x} = 3x + 10$.

Шаг 3: Приближённый поиск решения

Мы видим, что при $x = -3$ значение $2^{-x} = 8$, а при $x = -2$ значение $2^{-x} = 4$, в то время как правая часть уравнения $3x + 10$ при $x = -3$ даёт 1, а при $x = -2$ даёт 4.

Следовательно, решение уравнения должно быть между $x = -2$ и $x = -3$. Из графика мы видим, что точка пересечения примерно находится в $x = -2$.

Ответ: $x = -2$.

Задача 2

Уравнение:

$$\left( \frac{1}{3} \right)^{-x} = 2x + 5$$

Шаг 1: Разберём, что нам даны за функции

$y = \left( \frac{1}{3} \right)^{-x} = 3^x$ — это также показательная функция, но с основанием $\frac{1}{3}$, которое меньше 1. Это означает, что эта функция будет возрастающей. Для некоторых значений $x$ нам даны значения $y$:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & 1 & 3 & 9 \\ \hline \end{array}$$

То есть при $x = 0$ $y = 1$, при $x = 1$ $y = 3$, при $x = 2$ $y = 9$.

$y = 3x + 10$ — это линейная функция. Для этой функции у нас есть следующие значения:

$$\begin{array}{|c|c|} \hline x & 0 & 1 \\ \hline y & 5 & 7 \\ \hline \end{array}$$

График этой функции — прямая, которая растёт с угловым коэффициентом 3.

Шаг 2: Построение графиков

Мы ищем точку пересечения графиков $y = 3^x$ и $y = 3x + 10$.

• График $y = 3^x$ — это возрастающая показательная функция.
• График $y = 3x + 10$ — это линейная функция, растущая с угловым коэффициентом 3.

Шаг 3: Приближённый поиск решения

Для приближённого нахождения точек пересечения мы можем оценить, что:

• При $x = 0$, $3^0 = 1$, а $3 \times 0 + 10 = 10$.
• При $x = 1$, $3^1 = 3$, а $3 \times 1 + 10 = 13$.
• При $x = 2$, $3^2 = 9$, а $3 \times 2 + 10 = 16$.

Таким образом, одна из точек пересечения, очевидно, находится между $x = -2.5$ и $x = -2$, а вторая — при $x = 2$.

Ответ: $x_1 \approx -2.5$, $x_2 = 2$.