ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 214 Алимов — Подробные Ответы

1. 3^(x2+x-12) =1;
2. 2^(x2-7x+10) = 1;
3. 2^((x-1)/(x-2))=4;
4. 0,5^1/x = 4^(1/(x+1)).

1) $3^{x^2 + x — 12} = 1$;

$3^{x^2 + x — 12} = 3^0$;

$x^2 + x — 12 = 0$;

$D = 1^2 + 4 \cdot 12 = 1 + 48 = 49$, тогда:

$x_1 = \frac{-1 — 7}{2} = -4 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-1 + 7}{2} = 3;$

Ответ: $x_1 = -4; \, x_2 = 3.$

2) $2^{x^2 — 7x + 1} = 1$;

$2^{x^2 — 7x + 1} = 2^0$;

$x^2 — 7x + 10 = 0$;

$D = 7^2 — 4 \cdot 10 = 49 — 40 = 9$, тогда:

$x_1 = \frac{7 — 3}{2} = 2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{7 + 3}{2} = 5;$

Ответ: $x_1 = 2; \, x_2 = 5.$

3) $2^{\frac{x-1}{x-2}} = 4$;

$2^{\frac{x-1}{x-2}} = 2^2$;

$\frac{x-1}{x-2} = 2$;

$x — 1 = 2(x — 2)$;

$x — 1 = 2x — 4$;

$-x = -3$, отсюда $x = 3$;

Выражение имеет смысл при:

$x — 2 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq 2;$

Ответ: $x = 3.$

4) $0,5^{\frac{1}{x}} = 4^{\frac{1}{x+1}}$;

$\left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{1}{x}} = (2^2)^{\frac{1}{x+1}}$;

$2^{-\frac{1}{x}} = 2^{\frac{2}{x+1}}$;

$-\frac{1}{x} = \frac{2}{x+1}$;

$x + 1 = -2x$;

$3x = -1$, отсюда $x = -\frac{1}{3}$;

Выражение имеет смысл при:

$x \neq 0;$ $x + 1 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq -1;$

Ответ: $x = -\frac{1}{3}.$

1) $3^{x^2 + x — 12} = 1$

Начнем с того, что любое число, возведенное в степень, равное 0, дает 1:

$$3^{x^2 + x — 12} = 3^0$$

Это равенство справедливо, так как $3^0 = 1$.

Получаем уравнение:

$$x^2 + x — 12 = 0$$

Решаем это квадратное уравнение с использованием формулы для дискриминанта. Сначала вычислим дискриминант:

$$D = b^2 — 4ac$$

где $a = 1$, $b = 1$, и $c = -12$:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$$

Так как дискриминант положительный ($D = 49$), у нас есть два корня. Рассчитаем их по формуле:

$$x_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$$

Подставим значения:

$$x_1 = \frac{-1 — 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$ $$x_2 = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

Ответ: $x_1 = -4; \, x_2 = 3$.

2) $2^{x^2 — 7x + 1} = 1$

Используем аналогичный подход. $2^{x^2 — 7x + 1} = 2^0$, так как $2^0 = 1$.

Получаем уравнение:

$$x^2 — 7x + 10 = 0$$

Рассчитаем дискриминант:

$$D = b^2 — 4ac$$

где $a = 1$, $b = -7$, и $c = 10$:

$$D = (-7)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 — 40 = 9$$

Дискриминант положительный, значит, у нас два корня. Вычислим их:

$$x_1 = \frac{-(-7) — \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{7 — 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ $$x_2 = \frac{-(-7) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 3}{2} = \frac{10}{2} = 5$$

Ответ: $x_1 = 2; \, x_2 = 5$.

3) $2^{\frac{x-1}{x-2}} = 4$

Обратите внимание, что $4 = 2^2$, поэтому можем записать уравнение так:

$$2^{\frac{x-1}{x-2}} = 2^2$$

Теперь, так как основания одинаковы, приравниваем экспоненты:

$$\frac{x-1}{x-2} = 2$$

Умножим обе части уравнения на $x — 2$, чтобы избавиться от знаменателя:

$$x — 1 = 2(x — 2)$$

Раскроем скобки:

$$x — 1 = 2x — 4$$

Переносим все элементы на одну сторону:

$$x — 2x = -4 + 1$$ $$-x = -3$$ $$x = 3$$

Проверим, при каком значении выражение имеет смысл. Из выражения $\frac{x-1}{x-2}$ видно, что $x \neq 2$, так как знаменатель не должен быть равен нулю.

Ответ: $x = 3$.

4) $0,5^{\frac{1}{x}} = 4^{\frac{1}{x+1}}$

Начнем с того, что $0,5 = \frac{1}{2}$, а $4 = 2^2$, поэтому уравнение можно записать так:

$$\left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{1}{x}} = (2^2)^{\frac{1}{x+1}}$$

Перепишем уравнение, используя степень с основанием 2:

$$2^{-\frac{1}{x}} = 2^{\frac{2}{x+1}}$$

При равенстве оснований, приравниваем показатели степеней:

$$-\frac{1}{x} = \frac{2}{x+1}$$

Умножаем обе стороны на $x(x+1)$, чтобы избавиться от дробей:

$$-(x+1) = 2x$$

Раскрываем скобки и решаем:

$$-x — 1 = 2x$$ $$-1 = 3x$$ $$x = -\frac{1}{3}$$

Проверим, при каких значениях выражение имеет смысл. Из $\frac{1}{x}$ и $\frac{1}{x+1}$ видно, что $x \neq 0$ и $x \neq -1$, так как эти значения приведут к делению на ноль.

Ответ: $x = -\frac{1}{3}$.