ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 202 Алимов — Подробные Ответы

Доказать, что графики функций у=2х и y =(1/2)x симметричны относительно оси ординат.

Доказать, что графики функций $y = 2^x$ и $y = \left( \frac{1}{2} \right)^x$ симметричны относительно оси ординат;

Значения первой функции при $x = a$ и $x = -a$:
$y(a) = 2^a;$
$y(-a) = 2^{-a} = \left( \frac{1}{2} \right)^a;$

Значения первой функции при $x = a$ и $x = -a$:
$y(a) = \left( \frac{1}{2} \right)^a;$
$y(-a) = \left( \frac{1}{2} \right)^{-a} = 2^a;$

Таким образом, при противоположных значениях аргумента данные функции принимают одинаковые значения, следовательно, они симметричны относительно оси ординат, что и требовалось доказать.

Шаг 1: Определение функций

Рассмотрим две экспоненциальные функции:

1. $y = 2^x$ — стандартная экспоненциальная функция с основанием 2.
2. $y = \left( \frac{1}{2} \right)^x$ — экспоненциальная функция с основанием $\frac{1}{2}$.

Обе функции определены для всех действительных чисел $x$ ($x \in \mathbb{R}$).

Шаг 2: Исследование функции $y = 2^x$

Свойства функции $y = 2^x$:

• Область определения: $x \in \mathbb{R}$.
• Множество значений: $y > 0$.
• Монтоность: функция возрастает, так как основание 2 больше 1.
• Асимптота: горизонтальная асимптота $y = 0$.

Построим несколько значений:

Шаг 3: Исследование функции $y = \left( \frac{1}{2} \right)^x$

Свойства функции $y = \left( \frac{1}{2} \right)^x$:

• Область определения: $x \in \mathbb{R}$.
• Множество значений: $y > 0$.
• Монтоность: функция убывает, так как основание $\frac{1}{2}$ меньше 1.
• Асимптота: горизонтальная асимптота $y = 0$.

Построим несколько значений:

Шаг 4: Проверка симметрии относительно оси $y$

Сравним значения функций при противоположных значениях аргумента:

Для функции $y = 2^x$:

При $x = a$:

$$y(a) = 2^a$$

При $x = -a$:

$$y(-a) = 2^{-a} = \frac{1}{2^a} = \left( \frac{1}{2} \right)^a$$

Для функции $y = \left( \frac{1}{2} \right)^x$:

При $x = a$:

$$y(a) = \left( \frac{1}{2} \right)^a$$

При $x = -a$:

$$y(-a) = \left( \frac{1}{2} \right)^{-a} = \frac{1}{\left( \frac{1}{2} \right)^a} = 2^a$$

Из полученных значений видно, что при замене $x$ на $-x$ функции меняются местами. Это означает, что графики функций симметричны относительно оси $y$.

Шаг 5: Вывод

Так как при противоположных значениях аргумента $x$ значения функций $y = 2^x$ и $y = \left( \frac{1}{2} \right)^x$ совпадают, их графики симметричны относительно оси ординат.

Что и требовалось доказать. ✅