ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 200 Алимов — Подробные Ответы

Решить графически неравенство:

1. (1/3)x > 1;
2. (1/20)x < 1;
3. 5x > 5;
4. 5x > 1/5.

1) $\left(\frac{1}{3}\right)^x > 1$;

Рассмотрим функцию $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$:

• Область определения: $x\in \mathbb{R}$;
• Множество значений: $y>0$$$;
• Функция убывает, так как $0<\frac{1}{3}<1$$\mathrm{}$;

График функции:

Ответ: $x < 0$

2) $\left(\frac{1}{2}\right)^x < 1$;

Рассмотрим функцию $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$:

• Область определения: $x\in \mathbb{R}$$$;
• Множество значений: $y>0$$$;
• Функция убывает, так как $0<\frac{1}{2}<1$$\mathrm{}$;

График функции:

Ответ: $x > 0$

3) $5^x > 5$;

Рассмотрим функцию $y = 5^x$:

• Область определения: $x\in \mathbb{R}$;
• Множество значений: $y>0$$$;
• Функция возрастает, так как $5>1$$\mathrm{}$;

График функции:

Ответ: $x > 1$

4) $5^x < \frac{1}{5}$;

Рассмотрим функцию $y = 5^x$:

Область определения: $x\in \mathbb{R}$$$;

Множество значений: $y>0$$$;

Функция возрастает, так как $5>1$$\mathrm{}$;

График функции:

Ответ: $x < -1$

1) $\left(\frac{1}{3}\right)^x > 1$;

Рассмотрим функцию $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$:

Область определения:

• Функция определена для всех значений x, так как основание  $\frac{1}{3}$ положительно и не равно нулю.
• Следовательно, область определения: $x\in \mathbb{R}$$$.

Множество значений:

Поскольку $\frac{1}{3}>0$$\frac{\mathrm{}}{}$, функция всегда принимает положительные значения $y > 0$.

Анализ монотонности:

• Основание $\frac{1}{3}$ меньше 1, что означает, что функция $y={\left(\frac{1}{3}\right)}^x$ является убывающей.
• При увеличении x, значения функции будут уменьшаться. То есть, если $x_1 < x_2$, то  $\left(\frac{1}{3}\right)^{x_1} > \left(\frac{1}{3}\right)^{x_2}$.

Построение таблицы значений: Рассмотрим некоторые значения функции для $x = -2, -1, 0$:

График функции будет убывать: начиная от значения 9 при $x = -2$, и плавно переходя через 3 и 1 до $x = 0$.

Решение неравенства: Мы ищем, при каких значениях $x$ выполняется неравенство $\left(\frac{1}{3}\right)^x > 1$.

Для того, чтобы ${\left(\frac{1}{3}\right)}^x>1$, $x$ должно быть отрицательным, так как функция убывает, и для отрицательных значений $x$ функция принимает значения больше 1.

Ответ: $x<0$
$x < 0$

2) $\left(\frac{1}{2}\right)^x < 1$;

Рассмотрим функцию $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$:

Область определения:

• Функция определена для всех значений x, так как основание $\frac{1}{2}$ положительно и не равно нулю.
• Следовательно, область определения: $x\in \mathbb{R}$$$.

Множество значений:

Поскольку $\frac{1}{2}>0$$\frac{\mathrm{}}{}$, функция всегда принимает положительные значения $y > 0$.

Анализ монотонности:

• Основание $\frac{1}{2}$ меньше 1, что означает, что функция $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ является убывающей.
• При увеличении x, значения функции будут уменьшаться.

Построение таблицы значений: Рассмотрим некоторые значения функции для $x = -2, -1, 0$:

График функции будет убывать: начиная от значения 4 при $x = -2$, и плавно переходя через 2 и 1 до $x = 0$.

Решение неравенства: Мы ищем, при каких значениях $x$ выполняется неравенство $\left(\frac{1}{2}\right)^x < 1$.

Для того, чтобы ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x<1$${}^{}$, $x$ должно быть положительным, так как функция убывает, и для положительных значений $x$ функция будет меньше 1.

Ответ: $x>0$$$

3) $5^x > 5$;

Рассмотрим функцию $y = 5^x$:

Область определения:

• Функция определена для всех значений x, так как основание 5 положительно и не равно нулю.
• Следовательно, область определения: $x\in \mathbb{R}$$$.

Множество значений:

Поскольку $5>0$$\mathrm{}$, функция всегда принимает положительные значения $y > 0$.

Анализ монотонности:

• Основание $5>1$$\mathrm{}$, что означает, что функция $y = 5^x$ является возрастающей.
• При увеличении x, значения функции будут увеличиваться.

Построение таблицы значений: Рассмотрим некоторые значения функции для $x = 0, 1, 2$:

График функции будет возрастать: начиная от 1 при $x = 0$, и плавно увеличиваясь до 25 при $x = 2$.

Решение неравенства: Мы ищем, при каких значениях $x$ выполняется неравенство $5^x > 5$.

Для того, чтобы $5^x>5$${\mathrm{}}^{}$, $x$ должно быть больше 1, так как функция возрастает.

Ответ: $x>1$
$x > 1$

4) $5^x < \frac{1}{5}$;

Рассмотрим функцию $y = 5^x$:

Область определения:

• Функция определена для всех значений x, так как основание 5 положительно и не равно нулю.
• Следовательно, область определения: $x\in \mathbb{R}$$$.

Множество значений:

Поскольку $5>0$$\mathrm{}$, функция всегда принимает положительные значения $y > 0$.

Анализ монотонности:

• Основание $5>1$$\mathrm{}$, что означает, что функция $y = 5^x$ является возрастающей.
• При увеличении x, значения функции будут увеличиваться.

Построение таблицы значений: Рассмотрим некоторые значения функции для $x = -1, 0, 1$:

График функции будет возрастать: начиная от 0.2 при $x = -1$, и плавно увеличиваясь до 5 при $x = 1$.

Решение неравенства: Мы ищем, при каких значениях $x$ выполняется неравенство$5^x < \frac{1}{5}$.

Для того, чтобы $5^x<\frac{1}{5}$${\mathrm{}}^{}$, $x$ должно быть меньше -1, так как функция возрастает.

Ответ: $x<-1$$$