ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 193 Алимов — Подробные Ответы

С помощью графика функции у = 3x найти приближённое значение:

1. корень 3
2. 3^2/3;
3. 1/корень 3;
4. 3^-1,5.

Дана функция:

$y = 3^x$;

• Область определения: $x\in \mathbb{R}$;
• Множество значений: $y>0$;
• Функция возрастает, так как $3>1$;

Таблица значений:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & 1 & 3 & 9 \\ \hline \end{array}$$

График функции:

Найдем приближенные значения чисел:

1. $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}} = y\left(\frac{1}{2}\right) \approx 1,7$
2. $3^{\frac{2}{3}} = y\left(\frac{2}{3}\right) \approx 2$
3. $\frac{1}{\sqrt{3}} = \left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{1}{2}} = 3^{-\frac{1}{2}} = y\left(-\frac{1}{2}\right) \approx 0,6$
4. $3^{-1.5} = y(-1.5) \approx 0.2$

1. Дана функция $y = 3^x$

Функция представлена в показательной форме:

$$y = 3^x$$

где:

• $3$ — основание показательной функции (число больше 1);
• $x$ — показатель степени (аргумент функции).

1.1. Область определения

Функция $y = 3^x$ определена для всех действительных значений $x$, так как возведение числа 3 в любую степень всегда даёт корректное значение.

$$x \in \mathbb{R}$$

1.2. Множество значений

Функция принимает только положительные значения, поскольку:

• Число 3 всегда остаётся положительным при любом значении x;
• Даже при отрицательных x, результат $3^x$остаётся положительным, так как это дроби вида $\frac{1}{3^k}$.

Таким образом:

$$y > 0$$

1.3. Поведение функции

Функция возрастает, потому что основание степени больше 1 ($3 > 1$). Это означает, что:

• При увеличении x значение $y$ также увеличивается.
• При уменьшении x значение $y$ уменьшается, но остаётся положительным.

2. Таблица значений функции

Рассчитаем несколько значений:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 2 \\ \hline y = 3^x & 3^0 = 1 & 3^1 = 3 & 3^2 = 9 \\ \hline \end{array}$$

2.1. График функции

Функция $y = 3^x$ имеет экспоненциальный характер:

• При $x=0$, $y = 1$ (график проходит через точку $(0,1)$).
• При увеличении x значение $y$ растёт.
• При уменьшении x значение $y$ приближается к нулю, но не становится отрицательным.

График функции:

3. Найдём приближённые значения чисел

Теперь рассчитаем приближённые значения функции для дробных показателей.

3.1. Вычисление $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$

Формула:

$$\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$$

Это соответствует значению функции при $x = \frac{1}{2}$:

$$y\left(\frac{1}{2}\right) = 3^{\frac{1}{2}} \approx 1.7$$

3.2. Вычисление $3^{\frac{2}{3}}$

Формула:

$$3^{\frac{2}{3}}$$

Это соответствует значению функции при $x = \frac{2}{3}$:

$$y\left(\frac{2}{3}\right) \approx 2$$

3.3. Вычисление $\frac{1}{\sqrt{3}} = \left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{1}{2}}$

Формулы:

$$\frac{1}{\sqrt{3}} = \left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{1}{2}} = 3^{-\frac{1}{2}}$$

Это соответствует значению функции при $x = -\frac{1}{2}$:

$$y\left(-\frac{1}{2}\right) \approx 0.6$$

3.4. Вычисление $3^{-1.5}$

Формула:

$$3^{-1.5}$$

Это соответствует значению функции при $x = -1.5$:

$$y(-1.5) \approx 0.2$$

Выводы

1. Функция $y=3^x$ возрастает, так как $3>1$.
2. Область определения: $x\in \mathbb{R}$.
3. Множество значений: $y>0$$$.
4. Функция проходит через точку ($(0,1)$ и имеет экспоненциальный характер.
5. Приближённые значения:

• • $3^{\frac{1}{2}} \approx 1.7$
  • $3^{\frac{2}{3}} \approx 2$
  • $3^{-\frac{1}{2}} \approx 0.6$
  • $3^{-1.5} \approx 0.2$