ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 166 Алимов — Подробные Ответы

Решить неравенство (166-171).

1. корень x > 2;
2. корень x < 3;
3. корень 3 степени x > = 1;
4. корень 3 степени 2x < 3;
5. корень 3 степени 3x > 1;
6. корень 2x < =2.

1)$$\sqrt{x} > 2;$$

$$\begin{cases} x \geq 0 \\ (\sqrt{x})^2 > 2^2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \geq 0 \\ x > 4 \end{cases}$$

Ответ: $x > 4$

2)$$\sqrt{x} < 3;$$

$$\begin{cases} x \geq 0 \\ (\sqrt{x})^2 < 3^2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \geq 0 \\ x < 9 \end{cases}$$

Ответ: $0 \leq x < 9$

3)$$\sqrt[3]{x} \geq 1;$$

$$(\sqrt[3]{x})^3 \geq 1^3;$$

$$x \geq 1;$$

Ответ: $x \geq 1$

4)$$\sqrt[3]{2x} < 3;$$

$$(\sqrt[3]{2x})^3 < 3^3;$$

$$2x < 27;$$

$$x < 13.5;$$

Ответ: $x < 13.5$

5)$$\sqrt{3x} > 1;$$

$$\begin{cases} 3x \geq 0 \\ (\sqrt{3x})^2 > 1^2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \geq 0 \\ 3x > 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \geq 0 \\ x > \frac{1}{3} \end{cases}$$

Ответ: $x > \frac{1}{3}$

6)$$\sqrt{2x} \leq 2;$$

$$\begin{cases} 2x \geq 0 \\ (\sqrt{2x})^2 \leq 2^2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \geq 0 \\ 2x \leq 4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \geq 0 \\ x \leq 2 \end{cases}$$

Ответ: $0 \leq x \leq 2$

1. Решаем неравенство

$$\sqrt{x} > 2$$

Шаг 1. Записываем область определения.
Так как корень четной степени определен только при неотрицательном подкоренном выражении, имеем:

$$x \geq 0.$$

Шаг 2. Возводим обе части неравенства в квадрат (допустимо, так как обе части неотрицательны):

$$(\sqrt{x})^2 > 2^2$$

$$x > 4.$$

Шаг 3. Объединяем с областью определения:

$$x \geq 0 \quad \text{и} \quad x > 4 \Rightarrow x > 4.$$

Ответ: $x > 4$

2. Решаем неравенство

$$\sqrt{x} < 3$$

Шаг 1. Записываем область определения:

$$x \geq 0.$$

Шаг 2. Возводим обе части в квадрат:

$$(\sqrt{x})^2 < 3^2$$

$$x < 9.$$

Шаг 3. Объединяем с областью определения:

$$x \geq 0 \quad \text{и} \quad x < 9 \Rightarrow 0 \leq x < 9.$$

Ответ: $0 \leq x < 9$

3. Решаем неравенство

$$\sqrt[3]{x} \geq 1$$

Шаг 1. Кубический корень определен при любом $x$, поэтому область определения — вся числовая прямая.

Шаг 2. Возводим обе части в куб (сохранение знака неравенства верно для любых чисел):

$$(\sqrt[3]{x})^3 \geq 1^3$$

$$x \geq 1.$$

Ответ: $x \geq 1$

4. Решаем неравенство

$$\sqrt[3]{2x} < 3$$

Шаг 1. Кубический корень определен для всех $x$, область определения — вся числовая прямая.

Шаг 2. Возводим обе части в куб:

$$(\sqrt[3]{2x})^3 < 3^3$$

$$2x < 27.$$

Шаг 3. Делим обе части на 2:

$$x < 13.5.$$

Ответ: $x < 13.5$

5. Решаем неравенство

$$\sqrt{3x} > 1$$

Шаг 1. Записываем область определения:
Корень четной степени определен, если

$$3x \geq 0 \Rightarrow x \geq 0.$$

Шаг 2. Возводим обе части в квадрат:

$$(\sqrt{3x})^2 > 1^2$$

$$3x > 1.$$

Шаг 3. Разделим обе части на 3:

$$x > \frac{1}{3}.$$

Шаг 4. Учитываем область определения $x \geq 0$ и объединяем с полученным решением:

$$x > \frac{1}{3}.$$

Ответ: $x > \frac{1}{3}$

6. Решаем неравенство

$$\sqrt{2x} \leq 2$$

Шаг 1. Определяем область допустимых значений (ОДЗ):
Корень четной степени определен, если

$$2x \geq 0 \Rightarrow x \geq 0.$$

Шаг 2. Возводим обе части в квадрат:

$$(\sqrt{2x})^2 \leq 2^2$$

$$2x \leq 4.$$

Шаг 3. Делим обе части на 2:

$$x \leq 2.$$

Шаг 4. Учитываем область определения и объединяем с решением:

$$0 \leq x \leq 2.$$

Ответ: $0\le x\le 2$