ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 163 Алимов — Подробные Ответы

Решить уравнение:

1. корень (4x+2*(корень (3×2+4)) = x+2;
2. 3-x = корень (9-корень (36×2-5×4));
3. корень (x2+3x+12) — корень (x2+3x) =2;
4. корень (x2+5x+10) — корень (x2+5x+3) = 1.

1)$$\sqrt{4x + 2\sqrt{3x^2 + 4}} = x + 2;$$

$$4x + 2\sqrt{3x^2 + 4} = x^2 + 4x + 4;$$

$$2\sqrt{3x^2 + 4} = x^2 + 4;$$

$$4(3x^2 + 4) = x^4 + 8x^2 + 16;$$

$$12x^2 + 16 = x^4 + 8x^2 + 16;$$

$$x^4 — 4x^2 = 0;$$

$$x^2(x^2 — 4) = 0;$$

$$(x + 2) \cdot x^2 \cdot (x — 2) = 0;$$

$$x_1 = -2, \quad x_2 = 0, \quad x_3 = 2;$$

Выполним проверку:

$$\sqrt{-2 \cdot 4 + 2\sqrt{3 \cdot 4 + 4} + 2} = \sqrt{-8 + 2\sqrt{16} + 2} = \sqrt{0 + 2} = 2;$$

$$\sqrt{2 \cdot 4 + 2\sqrt{3 \cdot 4 + 4} — 2} = \sqrt{8 + 2\sqrt{16} — 2} = \sqrt{16 — 2} = 2;$$

$$\sqrt{4 \cdot 0 + 2\sqrt{3 \cdot 0^2 + 4} — 0} = \sqrt{2\sqrt{4}} = \sqrt{4} = 2;$$

Ответ: $x_1 = \pm 2; \, x_2 = 0$

2)$$3 — x = \sqrt{9 — \sqrt{36x^2 — 5x^4}};$$

$$9 — 6x + x^2 = 9 — \sqrt{36x^2 — 5x^4};$$

$$x^2 — 6x = -\sqrt{36x^2 — 5x^4};$$

$$x^4 — 12x^3 + 36x^2 = 36x^2 — 5x^4;$$

$$6x^4 — 12x^3 = 0;$$

$$x^4 — 2x^3 = 0;$$

$$x^3(x — 2) = 0;$$

$$x_1 = 0 \quad \text{и} \quad x_2 = 2;$$

Выполним проверку:

$$\sqrt{9 — \sqrt{36 \cdot 0^2 — 5 \cdot 0^4} + 0} = \sqrt{9 — \sqrt{0}} = 3;$$

$$\sqrt{9 — \sqrt{36 \cdot 2^2 — 5 \cdot 2^4} + 2} = \sqrt{9 — \sqrt{64} + 2} = \sqrt{9 — 8 + 2} = 3;$$

Ответ: $x_1 = 0; \, x_2 = 2$

3)$$\sqrt{x^2 + 3x + 12} — \sqrt{x^2 + 3x} = 2;$$

$$\sqrt{x^2 + 3x + 12} = 2 + \sqrt{x^2 + 3x};$$

$$x^2 + 3x + 12 = 4 + 4\sqrt{x^2 + 3x} + x^2 + 3x;$$

$$8 = 4\sqrt{x^2 + 3x};$$

$$2 = \sqrt{x^2 + 3x};$$

$$4 = x^2 + 3x;$$

$$x^2 + 3x — 4 = 0;$$

$$D = 3^2 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25, \text{ тогда:}$$

$$x_1 = \frac{-3 — 5}{2} = -4 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-3 + 4}{2} = 1;$$

Выполним проверку:

$$\sqrt{16 — 3 \cdot 4 + 12} — \sqrt{16 — 3 \cdot 4} = \sqrt{16} — \sqrt{4} = 4 — 2 = 2;$$

$$\sqrt{1 + 3 + 12} — \sqrt{1 + 3} = \sqrt{16} — \sqrt{4} = 4 — 2 = 2;$$

Ответ: $x_1 = -4; \, x_2 = 1$

4)$$\sqrt{x^2 + 5x + 10} — \sqrt{x^2 + 5x + 3} = 1;$$

$$\sqrt{x^2 + 5x + 10} = \sqrt{x^2 + 5x + 3} + 1;$$

$$x^2 + 5x + 10 = x^2 + 5x + 3 + 2\sqrt{x^2 + 5x + 3} + 1;$$

$$6 = 2\sqrt{x^2 + 5x + 3};$$

$$3 = \sqrt{x^2 + 5x + 3};$$

$$9 = x^2 + 5x + 3;$$

$$x^2 + 5x — 6 = 0;$$

$$D = 5^2 + 4 \cdot 6 = 25 + 24 = 49, \text{ тогда:}$$

$$x_1 = \frac{-5 — 7}{2} = -6 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-5 + 7}{2} = 1;$$

Выполним проверку:

$$\sqrt{36 — 5 \cdot 6 + 10} — \sqrt{36 — 5 \cdot 6 + 3} = \sqrt{16} — \sqrt{9} = 4 — 3 = 1;$$

$$\sqrt{1 + 5 + 10} — \sqrt{1 + 5 + 3} = \sqrt{16} — \sqrt{9} = 4 — 3 = 1;$$

Ответ: $x_1 = -6; \, x_2 = 1$

1)

Дано уравнение:

$$\sqrt{4x + 2\sqrt{3x^2 + 4}} = x + 2$$

Шаг 1: Избавляемся от внешнего корня. Для этого возводим обе части уравнения в квадрат:

$$4x + 2\sqrt{3x^2 + 4} = (x + 2)^2$$

$$4x + 2\sqrt{3x^2 + 4} = x^2 + 4x + 4$$

Шаг 2: Убираем $4x$ с обеих сторон:

$$2\sqrt{3x^2 + 4} = x^2 + 4$$

Шаг 3: Возводим обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от оставшегося корня:

$$4(3x^2 + 4) = (x^2 + 4)^2$$

$$12x^2 + 16 = x^4 + 8x^2 + 16$$

Шаг 4: Убираем $16$ с обеих сторон:

$$12x^2 = x^4 + 8x^2$$

Шаг 5: Переносим все на одну сторону:

$$12x^2 — 8x^2 = x^4$$

$$4x^2 = x^4$$

Шаг 6: Делим обе части на $x^2$ (при $x \neq 0$):

$$4 = x^2$$

Шаг 7: Извлекаем квадратный корень:

$$x = \pm 2$$

Шаг 8: Проверяем решения $x_1 = -2$, $x_2 = 0$, и $x_3 = 2$.

Проверка для $x = -2$:

$$\sqrt{-2 \cdot 4 + 2\sqrt{3 \cdot 4 + 4} + 2} = \sqrt{-8 + 2\sqrt{16} + 2} = \sqrt{0 + 2} = 2$$

Проверка для $x = 2$:

$$\sqrt{2 \cdot 4 + 2\sqrt{3 \cdot 4 + 4} — 2} = \sqrt{8 + 2\sqrt{16} — 2} = \sqrt{16 — 2} = 2$$

Проверка для $x = 0$:

$$\sqrt{4 \cdot 0 + 2\sqrt{3 \cdot 0^2 + 4} — 0} = \sqrt{2\sqrt{4}} = \sqrt{4} = 2$$

Ответ: $x_1 = \pm 2$, $x_2 = 0$

2)

Дано уравнение:

$$3 — x = \sqrt{9 — \sqrt{36x^2 — 5x^4}}$$

Шаг 1: Избавляемся от внешнего корня. Для этого возводим обе части уравнения в квадрат:

$$(3 — x)^2 = 9 — \sqrt{36x^2 — 5x^4}$$

$$9 — 6x + x^2 = 9 — \sqrt{36x^2 — 5x^4}$$

Шаг 2: Убираем $9$ с обеих сторон:

$$-6x + x^2 = -\sqrt{36x^2 — 5x^4}$$

Шаг 3: Убираем знак минус, возводя обе части в квадрат:

$$(x^2 — 6x)^2 = 36x^2 — 5x^4$$

$$x^4 — 12x^3 + 36x^2 = 36x^2 — 5x^4$$

Шаг 4: Переносим все на одну сторону:

$$x^4 — 12x^3 + 36x^2 — 36x^2 + 5x^4 = 0$$

$$6x^4 — 12x^3 = 0$$

Шаг 5: Выносим общий множитель:

$$6x^3(x — 2) = 0$$

Шаг 6: Получаем два решения:

$$x_1 = 0 \quad \text{или} \quad x_2 = 2$$

Проверка для $x = 0$:

$$\sqrt{9 — \sqrt{36 \cdot 0^2 — 5 \cdot 0^4}} = \sqrt{9 — \sqrt{0}} = 3$$

Проверка для $x = 2$:

$$\sqrt{9 — \sqrt{36 \cdot 2^2 — 5 \cdot 2^4}} = \sqrt{9 — \sqrt{64}} = \sqrt{9 — 8} = 3$$

Ответ: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$

3)

Дано уравнение:

$$\sqrt{x^2 + 3x + 12} — \sqrt{x^2 + 3x} = 2$$

Шаг 1: Избавляемся от одного корня. Для этого переносим один из корней на правую часть:

$$\sqrt{x^2 + 3x + 12} = 2 + \sqrt{x^2 + 3x}$$

Шаг 2: Возводим обе части в квадрат:

$$(x^2 + 3x + 12) = (2 + \sqrt{x^2 + 3x})^2$$

$$x^2 + 3x + 12 = 4 + 4\sqrt{x^2 + 3x} + x^2 + 3x$$

Шаг 3: Убираем одинаковые выражения с обеих сторон:

$$12 = 4 + 4\sqrt{x^2 + 3x}$$

$$8 = 4\sqrt{x^2 + 3x}$$

$$2 = \sqrt{x^2 + 3x}$$

$$4 = x^2 + 3x$$

Шаг 4: Получаем квадратное уравнение:

$$x^2 + 3x — 4 = 0$$

Шаг 5: Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

$$D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$$

$$x_1 = \frac{-3 — 5}{2} = -4, \quad x_2 = \frac{-3 + 5}{2} = 1$$

Проверка для $x = -4$:

$$\sqrt{16 — 3 \cdot 4 + 12} — \sqrt{16 — 3 \cdot 4} = \sqrt{16} — \sqrt{4} = 4 — 2 = 2$$

Проверка для $x = 1$:

$$\sqrt{1 + 3 + 12} — \sqrt{1 + 3} = \sqrt{16} — \sqrt{4} = 4 — 2 = 2$$

Ответ: $x_1 = -4$, $x_2 = 1$

4)

Дано уравнение:

$$\sqrt{x^2 + 5x + 10} — \sqrt{x^2 + 5x + 3} = 1$$

Шаг 1: Избавляемся от одного корня. Для этого переносим один из корней на правую часть:

$$\sqrt{x^2 + 5x + 10} = \sqrt{x^2 + 5x + 3} + 1$$

Шаг 2: Возводим обе части в квадрат:

$$x^2 + 5x + 10 = (x^2 + 5x + 3) + 2\sqrt{x^2 + 5x + 3} + 1$$

$$x^2 + 5x + 10 = x^2 + 5x + 3 + 2\sqrt{x^2 + 5x + 3} + 1$$

$$6 = 2\sqrt{x^2 + 5x + 3}$$

$$3 = \sqrt{x^2 + 5x + 3}$$

$$9 = x^2 + 5x + 3$$

$$x^2 + 5x — 6 = 0$$

Шаг 3: Решаем квадратное уравнение:

$$D = 5^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49$$

$$x_1 = \frac{-5 — 7}{2} = -6, \quad x_2 = \frac{-5 + 7}{2} = 1$$

Проверка для $x = -6$:

$$\sqrt{36 — 5 \cdot 6 + 10} — \sqrt{36 — 5 \cdot 6 + 3} = \sqrt{16} — \sqrt{9} = 4 — 3 = 1$$

Проверка для $x = 1$:

$$\sqrt{1 + 5 + 10} — \sqrt{1 + 5 + 3} = \sqrt{16} — \sqrt{9} = 4 — 3 = 1$$

Ответ: $x_1 = -6$, $x_2 = 1$

Итоговые ответы:

1. $x_1 = \pm 2; \, x_2 = 0$
2. $x_1 = 0; \, x_2 = 2$
3. $x_1 = -4; \, x_2 = 1$
4. $x_1 = -6; \, x_2 = 1$