ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1583 Алимов — Подробные Ответы

Вычислить:

1. cos(arcsin3/5);
2. sin(arccos(-5/13).

$\mathrm{1)\; cos}(\arcsin \frac{3}{5})=\sqrt{1-{\sin }^2(\arcsin \frac{3}{5})}=\sqrt{1-{\left(\frac{3}{5}\right)}^2}=\sqrt{\frac{25}{25}-\frac{9}{25}}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}$

Ответ: $\frac{4}{5}$.

$\mathrm{2)\; sin}(\arccos (-\frac{5}{13}))=\sqrt{1-{\cos }^2(\arccos (-\frac{5}{13}))}=\sqrt{1-{(-\frac{5}{13})}^2}=$

$=\sqrt{\frac{169}{169}-\frac{25}{169}}=\sqrt{\frac{144}{169}}=\frac{12}{13}$

Ответ: $\frac{12}{13}$.

Задача 1:

Найти $\cos (\arcsin \frac{3}{5})$.

Шаг 1: Определим, что означает $\arcsin \frac{3}{5}$.

$\arcsin \frac{3}{5}$ — это угол $\theta$, для которого $\sin \theta =\frac{3}{5}$. То есть:

$$\sin \theta =\frac{3}{5}$$

Теперь, нам нужно найти $\cos \theta$, при этом мы знаем, что для любого угла $\theta$ выполняется основное тригонометрическое тождество:

$${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$$

Шаг 2: Найдем ${\cos }^2\theta$.

Мы знаем, что $\sin \theta =\frac{3}{5}$. Подставим это значение в тождество:

$${\left(\frac{3}{5}\right)}^2+{\cos }^2\theta =1$$

Преобразуем:

$$\frac{9}{25}+{\cos }^2\theta =1$$

Теперь перенесем $\frac{9}{25}$ на правую сторону:

$${\cos }^2\theta =1-\frac{9}{25}=\frac{25}{25}-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$$

Шаг 3: Найдем $\cos \theta$.

Теперь, извлекаем квадратный корень из обеих сторон:

$$\cos \theta =\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}$$

Так как $\arcsin \frac{3}{5}$ — это угол, который лежит в пределах от $-\frac{\pi }{2}$ до $\frac{\pi }{2}$ (так как функция $\arcsin$ ограничена этим интервалом), а в этом интервале косинус угла всегда положителен, то:

$$\cos \theta =\frac{4}{5}$$

Ответ: $\cos (\arcsin \frac{3}{5})=\frac{4}{5}$.

Задача 2:

Найти $\sin (\arccos (-\frac{5}{13}))$.

Шаг 1: Определим, что означает $\arccos (-\frac{5}{13})$.

$\arccos (-\frac{5}{13})$ — это угол $\varphi$, для которого $\cos \varphi =-\frac{5}{13}$. То есть:

$$\cos \varphi =-\frac{5}{13}$$

Нам нужно найти $\sin \varphi$. Для этого используем основное тригонометрическое тождество:

$${\sin }^2\varphi +{\cos }^2\varphi =1$$

Шаг 2: Найдем ${\sin }^2\varphi$.

Подставим $\cos \varphi =-\frac{5}{13}$ в тождество:

$${\sin }^2\varphi +{(-\frac{5}{13})}^2=1$$

Преобразуем:

$${\sin }^2\varphi +\frac{25}{169}=1$$

Теперь перенесем $\frac{25}{169}$ на правую сторону:

$${\sin }^2\varphi =1-\frac{25}{169}=\frac{169}{169}-\frac{25}{169}=\frac{144}{169}$$

Шаг 3: Найдем $\sin \varphi$.

Извлекаем квадратный корень из обеих сторон:

$$\sin \varphi =\sqrt{\frac{144}{169}}=\frac{12}{13}$$

Так как $\arccos (-\frac{5}{13})$ находится в интервале от $0$ до $\pi$, а синус в этом интервале положителен, то:

$$\sin \varphi =\frac{12}{13}$$

Ответ: $\sin (\arccos (-\frac{5}{13}))=\frac{12}{13}$.

Итоговые ответы:

1. $\cos (\arcsin \frac{3}{5})=\frac{4}{5}$
2. $\sin (\arccos (-\frac{5}{13}))=\frac{12}{13}$