ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1570 Алимов — Подробные Ответы

Для всех значений параметра а решить систему уравнений

система

a2-2(корень 3|a|) +x2+2xy-y2-2=0,

x2+y2-2y-cos(xy) + 11-6a+a2=0.

Решить систему уравнений:

$$\begin{cases} a^2 — 2\sqrt{3|a|}y + x^2 + 2xy — y^2 — 2 = 0 \\ x^2 + y^2 — 2y — \cos(xy) + 11 — 6a + a^2 = 0 \end{cases};$$

Преобразуем второе уравнение:

$$x^2 + (y^2 — 2y + 1) + (a^2 — 6a + 9) + (1 — \cos(xy)) = 0;$$ $$x^2 + (y — 1)^2 + (a — 3)^2 + (1 — \cos(xy)) = 0;$$

Все слагаемые неотрицательны, следовательно:

$$x^2 = 0, \text{ отсюда } x = 0;$$ $$y — 1 = 0, \text{ отсюда } y = 1;$$ $$a — 3 = 0, \text{ отсюда } a = 3;$$

Ответ: при $a \neq 3$ корней нет; $(0; 1)$ при $a = 3$.

Дано:

$$\begin{cases} a^2 — 2\sqrt{3|a|}y + x^2 + 2xy — y^2 — 2 = 0 \\ x^2 + y^2 — 2y — \cos(xy) + 11 — 6a + a^2 = 0 \end{cases};$$

Шаг 1: Анализ второго уравнения

Начнем с преобразования второго уравнения, чтобы упростить его для дальнейшего решения. Вторая строка:

$$x^2 + y^2 — 2y — \cos(xy) + 11 — 6a + a^2 = 0$$

1. Преобразуем $y^2 — 2y$:
   Мы видим, что выражение $y^2 — 2y$ можно переписать как:

   $$y^2 — 2y = (y — 1)^2 — 1$$

   Так как $y^2 — 2y = (y — 1)^2 — 1$, подставим это в исходное уравнение:

   $$x^2 + (y — 1)^2 — 1 — \cos(xy) + 11 — 6a + a^2 = 0$$

2. Упростим константы:
   Преобразуем оставшуюся часть:

   $$-1 + 11 = 10$$

   Таким образом, уравнение превращается в:

   $$x^2 + (y — 1)^2 + 10 — \cos(xy) — 6a + a^2 = 0$$

   Или:

   $$x^2 + (y — 1)^2 + (a^2 — 6a + 10) — \cos(xy) = 0$$

3. Заметим, что все слагаемые, кроме $\cos(xy)$, неотрицательны.
   • $x^2 \geq 0$
   • $(y — 1)^2 \geq 0$
   • $(a — 3)^2 = a^2 — 6a + 9 \geq 0$
   • $\cos(xy)$ принимает значения от -1 до 1, так что $1 — \cos(xy) \geq 0$

   Следовательно, для того, чтобы все слагаемые равнялись нулю, необходимо:

   $$x^2 = 0, \quad (y — 1)^2 = 0, \quad (a — 3)^2 = 0, \quad 1 — \cos(xy) = 0$$

Шаг 2: Решение для $x$, $y$, и $a$

Из условия $x^2 = 0$:
Это означает, что:

$$x = 0$$

Из условия $(y — 1)^2 = 0$:
Это означает, что:

$$y — 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad y = 1$$

Из условия $(a — 3)^2 = 0$:
Это означает, что:

$$a — 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad a = 3$$

Шаг 3: Проверка условия $1 — \cos(xy) = 0$

Условие $1 — \cos(xy) = 0$:
Мы знаем, что $\cos(xy) = 1$ для $xy = 2k\pi$ (где $k$ — целое число). Поскольку $x = 0$, то:

$$\cos(0 \cdot y) = \cos(0) = 1$$

Таким образом, условие $1 — \cos(xy) = 0$ также выполняется.

Шаг 4: Рассмотрение ситуации $a \neq 3$

Если $a \neq 3$, то одно из условий $(a — 3)^2 = 0$ не выполнено. В этом случае, в уравнении будет присутствовать положительное слагаемое, что невозможно при $0 = 0$. Следовательно, при $a \neq 3$ система не имеет решения.

Шаг 5: Ответ

Таким образом, мы получаем, что система имеет решение только при $a = 3$, и оно равно:

$$(x, y) = (0, 1)$$

Ответ: при $a \neq 3$ корней нет; при $a = 3$ решение $(0, 1)$.