ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1567 Алимов — Подробные Ответы

Пересекает ли график функции у = х3 — 6х2 + 11х — 6 ось Ох в точках, абсциссы которых являются целыми числами?

Дана функция:
$y = x^3 — 6x^2 + 11x — 6;$

Функция пересекает ось $O_x$ при:
$x^3 — 6x^2 + 11x — 6 = 0;$
$(x^3 — 5x^2 + 6x) — (x^2 — 5x + 6) = 0;$
$x(x^2 — 5x^2 + 6x) — (x^2 — 5x + 6) = 0;$
$(x — 1)(x^2 — 5x + 6) = 0;$
$(x — 1)(x^2 — 3x — 2x + 6) = 0;$
$(x — 1)(x(x — 3) — 2(x — 3)) = 0;$
$(x — 1)(x — 2)(x — 3) = 0;$
$x_1 = 1, \, x_2 = 2, \, x_3 = 3;$

Ответ: да, в точках с абсциссами 1, 2 и 3.

Дана функция:
$y = x^3 — 6x^2 + 11x — 6$

Нужно найти, в каких точках функция пересекает ось $O_x$.

Шаг 1: Условия пересечения с осью $O_x$

Функция пересекает ось $O_x$ в тех точках, где $y = 0$, то есть нужно решить уравнение:

$$x^3 — 6x^2 + 11x — 6 = 0$$

Шаг 2: Применяем метод группировки

Для удобства решения попробуем сгруппировать члены в уравнении. Для этого разделим исходное уравнение на две части:

$$(x^3 — 5x^2 + 6x) — (x^2 — 5x + 6) = 0$$

Теперь получаем два выражения:

1. $x^3 — 5x^2 + 6x$
2. $x^2 — 5x + 6$

Следующий шаг — вынести общий множитель из первой группы и второй.

Шаг 3: Вынесение общего множителя

В первой группе $x^3 — 5x^2 + 6x$ можно вынести $x$:

$$x(x^2 — 5x + 6)$$

Во второй группе $x^2 — 5x + 6$ просто остается без изменений.

Теперь у нас следующее уравнение:

$$x(x^2 — 5x + 6) — (x^2 — 5x + 6) = 0$$

Шаг 4: Вынесение общего множителя из всего уравнения

Теперь заметим, что в обоих слагаемых есть общий множитель $(x^2 — 5x + 6)$. Вынесем его за скобки:

$$(x^2 — 5x + 6)(x — 1) = 0$$

Шаг 5: Решение уравнений

Теперь у нас есть два множителя, и каждый из них приравняем к нулю.

$x^2 — 5x + 6 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью формулы дискриминанта:

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 — 24 = 1$$

Корни уравнения:

$$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 1}{2}$$

Тогда получаем два корня:

$$x_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{5 — 1}{2} = 2$$

$x — 1 = 0$

Это простое линейное уравнение:

$$x = 1$$

Шаг 6: Итоговые решения

Мы нашли три корня:

$$x_1 = 1, \quad x_2 = 2, \quad x_3 = 3$$

Ответ:

Функция пересекает ось $O_x$ в точках с абсциссами $1, 2$ и $3$.

Ответ:

$$\boxed{1, 2, 3}$$