ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1559 Алимов — Подробные Ответы

Найти первообразную функции:

1. y=1/(x+1) — 1/(x-1);
2. y=3/(4x-1).

$y = \frac{1}{x+1} — \frac{1}{x-1};$

$F(x) = \frac{1}{1} \ln |x+1| — \frac{1}{1} \ln |x-1| = \ln \left| \frac{x+1}{x-1} \right| + C;$

Ответ: $F(x) = \ln \left| \frac{x+1}{x-1} \right| + C.$

$y = \frac{3}{4x-1};$

$F(x) = 3 \cdot \frac{1}{4} \ln |4x-1| = \frac{3}{4} \ln |4x-1| + C;$

Ответ: $F(x) = \frac{3}{4} \ln |4x-1| + C.$

Нужно найти первообразные для данных функций.

1. $y = \frac{1}{x+1} — \frac{1}{x-1}$
2. $y = \frac{3}{4x-1}$

Шаг 1: Нахождение первообразной для $y = \frac{1}{x+1} — \frac{1}{x-1}$

1.1 Разделение функции

Функция $y = \frac{1}{x+1} — \frac{1}{x-1}$ — это разность двух дробей. Для нахождения её первообразной, будем интегрировать каждую дробь отдельно.

$$y = \frac{1}{x+1} — \frac{1}{x-1}$$

Первообразные для таких функций, как $\frac{1}{x + a}$, имеют вид:

$$\int \frac{1}{x + a} \, dx = \ln |x + a| + C.$$

Используя это правило, найдём первообразную для каждого слагаемого в правой части:

1.2 Интегрирование $\frac{1}{x+1}$

Для первой дроби:

$$\int \frac{1}{x+1} \, dx = \ln |x + 1| + C_1.$$

1.3 Интегрирование $\frac{1}{x-1}$

Для второй дроби:

$$\int \frac{1}{x-1} \, dx = \ln |x — 1| + C_2.$$

1.4 Разность интегралов

Теперь, поскольку мы берём разность двух дробей, то первообразная функции будет разностью двух логарифмов:

$$F(x) = \ln |x + 1| — \ln |x — 1| + C,$$

где $C = C_1 — C_2$ — произвольная постоянная интегрирования, которая объединяет константы.

Используем свойства логарифмов, чтобы объединить выражения:

$$F(x) = \ln \left| \frac{x + 1}{x — 1} \right| + C.$$

Ответ для первой функции

$$F(x) = \ln \left| \frac{x + 1}{x — 1} \right| + C.$$

Шаг 2: Нахождение первообразной для $y = \frac{3}{4x-1}$

2.1 Разделение функции

Для функции $y = \frac{3}{4x — 1}$, она представляет собой одно дробное выражение, и для её интегрирования воспользуемся стандартной формулой:

$$\int \frac{1}{ax + b} \, dx = \frac{1}{a} \ln |ax + b| + C.$$

2.2 Интегрирование

В данном случае, у нас $a = 4$ и $b = -1$, поэтому примем $3$ как постоянный множитель:

$$\int \frac{3}{4x — 1} \, dx = 3 \cdot \frac{1}{4} \ln |4x — 1| + C.$$

Упростим:

$$F(x) = \frac{3}{4} \ln |4x — 1| + C.$$

Ответ для второй функции

$$F(x)=\frac{3}{4}\ln \mathrm{\mid }4x-1\mathrm{\mid }+C$$