ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1548 Алимов — Подробные Ответы

Колесо вращается так, что угол поворота прямо пропорционален кубу времени. Первый оборот был сделан колесом за 2 с. Определить угловую скорость колеса через 4 с после начала вращения.

Угол поворота колеса изменяется по закону:

$$\varphi(t) = kt^3, \text{ где } k — \text{ некоторый коэффициент;}$$

Первый оборот был сделан колесом за 2 с, значит:

$$\varphi(2) = k(2)^3 = 2\pi;$$ $$8k = 2\pi;$$ $$4k = \pi, \text{ отсюда } k = \frac{\pi}{4};$$

Производная функции:

$$\varphi(t) = \frac{\pi}{4} t^3;$$ $$\varphi'(t) = \frac{\pi}{4} (t^3)’ = \frac{3\pi}{4} t^2;$$

Угловая скорость колеса через 4 секунды:

$$\varphi'(4) = \frac{3\pi}{4} \cdot 4^2 = 3\pi \cdot 4 = 12\pi \, (\text{рад/с});$$

Ответ: $12\pi \, \text{рад/с}$.

Дано:

• Угол поворота колеса $\varphi(t)$ пропорционален кубу времени, т.е.:

  $$\varphi(t) = kt^3,$$

  где $k$ — некоторый коэффициент пропорциональности.

• Первый оборот колеса был сделан за 2 секунды, т.е. за время $t = 2$ секунды угол поворота составил $2\pi$ радиан.
• Необходимо найти угловую скорость колеса через 4 секунды.

1. Нахождение коэффициента $k$:

Для того чтобы найти $k$, используем информацию о первом обороте. Когда колесо совершает первый оборот, угол поворота составляет $2\pi$ радиан. Это происходит в момент времени $t = 2$ секунды, т.е.:

$$\varphi(2) = 2\pi.$$

Подставим $t = 2$ в уравнение для $\varphi(t)$:

$$\varphi(2) = k(2)^3 = 2\pi.$$

Преобразуем это уравнение:

$$k \cdot 8 = 2\pi,$$ $$8k = 2\pi,$$ $$k = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}.$$

Таким образом, коэффициент $k$ равен $\frac{\pi}{4}$.

2. Производная угла поворота $\varphi(t)$ по времени — угловая скорость:

Чтобы найти угловую скорость колеса в любой момент времени $t$, нужно взять производную от угла поворота $\varphi(t)$ по времени. Угловая скорость $\omega(t)$ колеса определяется как:

$$\omega(t) = \frac{d\varphi(t)}{dt}.$$

Из уравнения для угла поворота:

$$\varphi(t) = \frac{\pi}{4} t^3.$$

Теперь вычислим производную:

$$\omega(t) = \frac{d}{dt} \left( \frac{\pi}{4} t^3 \right) = \frac{\pi}{4} \cdot 3t^2 = \frac{3\pi}{4} t^2.$$

3. Нахождение угловой скорости через 4 секунды:

Теперь, чтобы найти угловую скорость колеса через 4 секунды, подставим $t = 4$ в выражение для угловой скорости:

$$\omega(4) = \frac{3\pi}{4} \cdot 4^2 = \frac{3\pi}{4} \cdot 16 = 12\pi \, \text{рад/с}.$$

4. Ответ:

Угловая скорость колеса через 4 секунды после начала вращения составляет:

$$\boxed{12\pi \, \text{рад/с}}.$$