ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1503 Алимов — Подробные Ответы

Записать уравнение касательной к графику функции f(x) = (корень 3 степени x3) + 1 в точке с абсциссой х = 4.

Дана функция $f(x) = \sqrt{x^3} + 1$ и касательная в точке $x_0 = 4$.

Производная функции:

$$f'(x) = \left( x^{3/2} \right)’ + (1)’ = \frac{3}{2} x^{1/2} + 0 = \frac{3}{2} \sqrt{x};$$

Уравнение касательной:

$$f'(4) = \frac{3}{2} \cdot \sqrt{4} = \frac{3}{2} \cdot 2 = 3;$$ $$f(4) = \sqrt{4^3} + 1 = \sqrt{64} + 1 = 8 + 1 = 9;$$ $$y = 9 + 3(x — 4) = 9 + 3x — 12 = 3x — 3;$$

Ответ: $y = 3x — 3$.

Дана функция:

$$f(x) = \sqrt{x^3} + 1$$

Необходимо найти уравнение касательной к графику этой функции в точке $x_0 = 4$.

Шаг 1: Нахождение производной функции

Для того чтобы найти уравнение касательной, нам нужно сначала найти производную функции $f(x)$.

Функция $f(x) = \sqrt{x^3} + 1$ представляет собой сумму двух функций:

1. $\sqrt{x^3} = x^{3/2}$
2. $1$ — это константа.

Для нахождения производной этой функции, применим стандартные правила дифференцирования:

• Производная от $x^{3/2}$ по $x$ — это $\frac{3}{2} x^{1/2}$ по правилу дифференцирования степенной функции.
• Производная от постоянной функции 1 равна 0.

Таким образом, производная функции $f(x) = x^{3/2} + 1$ будет:

$$f'(x) = \left( x^{3/2} \right)’ + (1)’ = \frac{3}{2} x^{1/2} + 0 = \frac{3}{2} \sqrt{x}$$

Шаг 2: Нахождение углового коэффициента касательной

Угловой коэффициент касательной $k$ в точке $x_0 = 4$ равен значению производной функции в этой точке.

Нам нужно подставить $x_0 = 4$ в найденную производную $f'(x)$:

$$f'(x) = \frac{3}{2} \sqrt{x}$$

Подставляем $x = 4$:

$$f'(4) = \frac{3}{2} \cdot \sqrt{4} = \frac{3}{2} \cdot 2 = 3$$

Таким образом, угловой коэффициент касательной в точке $x_0 = 4$ равен 3.

Шаг 3: Нахождение координат точки касания

Теперь, чтобы найти уравнение касательной, нам нужно знать координаты точки касания. Точка касания — это точка на графике функции, где $x = 4$, то есть нужно найти значение функции $f(4)$.

Подставляем $x = 4$ в выражение для функции $f(x) = \sqrt{x^3} + 1$:

$$f(4) = \sqrt{4^3} + 1 = \sqrt{64} + 1 = 8 + 1 = 9$$

Таким образом, точка касания имеет координаты $(4, 9)$.

Шаг 4: Уравнение касательной

Теперь, зная угловой коэффициент касательной $k = 3$ и координаты точки касания $(4, 9)$, можем записать уравнение касательной.

Уравнение касательной к графику функции в точке $(x_0, f(x_0))$ имеет вид:

$$y — f(x_0) = f'(x_0) (x — x_0)$$

Подставляем значения:

$$x_0 = 4, \quad f(x_0) = 9, \quad f'(x_0) = 3$$

Тогда уравнение касательной будет:

$$y — 9 = 3(x — 4)$$

Теперь упростим это уравнение:

$$y — 9 = 3x — 12$$

Добавляем 9 к обеим частям:

$$y = 3x — 3$$

Ответ:

Уравнение касательной к графику функции $f(x) = \sqrt{x^3} + 1$ в точке $x_0 = 4$ имеет вид:

$$y = 3x — 3$$