ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1500 Алимов — Подробные Ответы

Найти тангенс угла, который касательная к графику функции у = х2 * е^-х в точке с абсциссой х = 1 образует с осью Ох.

Дано:

1. Функция: $y = x^2 \cdot e^{-x}$
2. Точка касания: $x_0 = 1$

Производная функции:

$$y'(x) = (x^2)’ \cdot e^{-x} + x^2 \cdot (e^{-x})’$$ $$y'(x) = 2x \cdot e^{-x} + x^2 \cdot (-e^{-x}) = (2x — x^2) \cdot e^{-x}$$

Тангенс угла между касательной и осью $Ox$:

$$tg \, \alpha = y'(1) = (2 \cdot 1 — 1^2) \cdot e^{-1} = (2 — 1) \cdot e^{-1} = \frac{1}{e}$$

Ответ:

$$tg \, \alpha = \frac{1}{e}$$

Условие задачи:

• Дана функция:

  $$y = x^2 \cdot e^{-x}$$

• Требуется найти тангенс угла между касательной к графику функции и осью $Ox$ в точке с абсциссой $x_0 = 1$.

Пояснение к задаче:

Если функция $y = f(x)$ имеет производную в точке $x_0$, то касательная к её графику в этой точке наклонена к оси $Ox$ под углом $\alpha$, и:

$$\tg(\alpha) = f'(x_0)$$

Значит, задача сводится к нахождению производной функции и её значения при $x = 1$.

Шаг 1: Найдём производную функции $y = x^2 \cdot e^{-x}$

Это произведение двух функций:

• $u(x) = x^2$
• $v(x) = e^{-x}$

Применим правило производной произведения:

$$(y)’ = u’ \cdot v + u \cdot v’$$

Вычислим по частям:

• $u'(x) = (x^2)’ = 2x$
• $v'(x) = (e^{-x})’ = -e^{-x}$

Теперь подставим:

$$y'(x) = 2x \cdot e^{-x} + x^2 \cdot (-e^{-x}) = 2x \cdot e^{-x} — x^2 \cdot e^{-x}$$

Вынесем $e^{-x}$ за скобки:

$$y'(x) = (2x — x^2) \cdot e^{-x}$$

Шаг 2: Найдём значение производной при $x = 1$

Подставим $x = 1$:

$$y'(1) = (2 \cdot 1 — 1^2) \cdot e^{-1} = (2 — 1) \cdot \frac{1}{e} = \frac{1}{e}$$

Шаг 3: Найдём тангенс угла между касательной и осью $Ox$

По определению:

$$\tg \alpha = y'(1) = \frac{1}{e}$$

Ответ:

$$\boxed{\tg \alpha = \frac{1}{e}}$$

Итог:

• Касательная к графику функции $y = x^2 \cdot e^{-x}$ в точке $x = 1$ имеет угловой коэффициент $\frac{1}{e}$.
• Это значит, что угол наклона касательной к оси $Ox$ имеет тангенс:

  $$\boxed{\tg \alpha = \frac{1}{e}}$$