ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1499 Алимов — Подробные Ответы

Найти угол между осью Ох и касательной к графику функ ции у = х3 — х2 — 7х + 6 в точке М (2; -4).

Дана функция $y = x^3 — x^2 — 7x + 6$ и касательная в точке $M(2; -4)$.

Производная функции:

$$y'(x) = (x^3)’ — (x^2)’ — (7x — 6)’ = 3x^2 — 2x — 7;$$ $$k = y'(2) = 3 \cdot 2^2 — 2 \cdot 2 — 7 = 12 — 4 — 7 = 1;$$

Угол между касательной и осью $Ox$:

$$a = \arctg k = \arctg 1 = \frac{\pi}{4};$$

Ответ: $a = \frac{\pi}{4}$.

Дана функция:

$$y = x^3 — x^2 — 7x + 6$$

и точка $M(2;\ -4)$, через которую проходит касательная к графику функции.

Нужно найти угол между касательной и осью $Ox$.

Понимание задачи

Касательная к графику функции в данной точке имеет угловой коэффициент, равный значению производной функции в этой точке.

Если угловой коэффициент касательной равен $k$, то угол наклона $a$ между этой прямой и положительным направлением оси $Ox$ вычисляется как:

$$a = \arctan(k)$$

Шаг 1: Найдём производную функции

Исходная функция:

$$y = x^3 — x^2 — 7x + 6$$

Найдём производную по правилам:

• $(x^3)’ = 3x^2$
• $(x^2)’ = 2x$
• $(7x)’ = 7$
• $(6)’ = 0$

Подставим:

$$y'(x) = 3x^2 — 2x — 7$$

Шаг 2: Найдём значение производной в точке $x = 2$

Подставим $x = 2$ в производную:

$$y'(2) = 3 \cdot 2^2 — 2 \cdot 2 — 7 = 3 \cdot 4 — 4 — 7 = 12 — 4 — 7 = 1$$

Угловой коэффициент касательной:

$$k = 1$$

Шаг 3: Найдём угол наклона касательной

Поскольку угол $a$ между касательной и осью $Ox$ определяется по формуле:

$$a = \arctan(k)$$

а у нас $k = 1$, то:

$$a = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}$$

(так как $\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$)

Ответ:

$$\boxed{a = \frac{\pi}{4}}$$