ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1497 Алимов — Подробные Ответы

Касательная к параболе у = Зх2 + 7х + 1 в точке М образует с осью абсцисс угол пи/4. Найти координаты точки М.

Дана функция $y = 3x^2 + 7x + 1$ и касательная в точке $M$.

Производная функции:

$$k = y'(x) = 3(x^2)’ + (7x + 1)’ = 3 \cdot 2x + 7 = 6x + 7;$$

Касательная в точке $M$ образует с осью $Ox$ угол $\frac{\pi}{4}$, значит:

$$a = \arctg k = \frac{\pi}{4};$$ $$\tg(\arctg k) = \tg \frac{\pi}{4};$$ $$k = \tg \frac{\pi}{4} = 1;$$

Найдем координаты точки $M$:

$$6x + 7 = 1;$$ $$6x = -6, \text{отсюда } x = -1;$$ $$y = 3 \cdot (-1)^2 + 7 \cdot (-1) + 1 = 3 — 7 + 1 = -3;$$

Ответ: $M(-1; -3)$.

Дана функция:

$$y = 3x^2 + 7x + 1$$

и касательная в некоторой точке $M$, которая образует с осью абсцисс (осью $Ox$) угол $\frac{\pi}{4}$.

Найти координаты точки $M$.

Пояснение к задаче:

Если касательная к графику функции в точке $M$ образует угол $\frac{\pi}{4}$ с осью $Ox$, это означает:

• Тангенс угла наклона касательной равен угловому коэффициенту $k$ этой прямой:

  $$k = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right)$$

• А угловой коэффициент $k$ — это значение производной функции в точке $x$, то есть:

  $$k = y'(x)$$

Шаг 1: Найдём производную функции

Функция:

$$y = 3x^2 + 7x + 1$$

Вычислим производную по правилам:

• $(3x^2)’ = 3 \cdot 2x = 6x$
• $(7x)’ = 7$
• $(1)’ = 0$

Соберём всё:

$$y'(x) = 6x + 7$$

Производная функции:

$$k = y'(x) = 6x + 7$$

Шаг 2: Учитываем угол наклона касательной

Угол между касательной и осью $Ox$ равен $\frac{\pi}{4}$.
Значит:

$$k = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$$

То есть касательная имеет угловой коэффициент $k = 1$.

Шаг 3: Найдём значение $x$, при котором производная равна 1

Решим уравнение:

$$6x + 7 = 1$$

Вычислим:

$$6x = 1 — 7 = -6$$ $$x = \frac{-6}{6} = -1$$

Значит, касательная под углом $\frac{\pi}{4}$ к оси $Ox$ проводится в точке с абсциссой $x = -1$

Шаг 4: Найдём значение функции при $x = -1$

Подставим $x = -1$ в исходную функцию:

$$y = 3x^2 + 7x + 1$$

Вычислим:

$$y = 3 \cdot (-1)^2 + 7 \cdot (-1) + 1 = 3 \cdot 1 — 7 + 1 = 3 — 7 + 1 = -3$$

Соответствующее значение $y = -3$

Ответ:

Координаты точки $M$, в которой касательная к графику функции образует угол $\frac{\pi}{4}$ с осью $Ox$:

$$\boxed{M(-1;\ -3)}$$