ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1471 Алимов — Подробные Ответы

1. y=2×2-1;
2. y=x-x3;
3. y=x5-1/x;
4. y=sinx/x.

1. $y = 2x^2 — 1$;
   $y(-x) = 2(-x)^2 — 1 = 2x^2 — 1 = y(x)$;
   Ответ: четная.
2. $y = x — x^3$;
   $y(-x) = -x — (-x)^3 = -x + x^3 = -y(x)$;
   Ответ: нечетная.
3. $y = x^5 — \frac{1}{x}$;
   $y(-x) = (-x)^5 — \frac{1}{-x} = -x^5 + \frac{1}{x} = -y(x)$;
   Ответ: нечетная.
4. $y = \frac{\sin x}{x}$;
   $y(-x) = \frac{\sin(-x)}{-x} = \frac{-\sin x}{-x} = \frac{\sin x}{x} = y(x)$;
   Ответ: четная.

1) $y = 2x^2 — 1$

Для того чтобы определить, является ли функция четной или нечетной, необходимо вычислить $y(-x)$ и сравнить его с $y(x)$.

Подставляем $-x$ вместо $x$ в выражение для $y$:

$$y(-x) = 2(-x)^2 — 1$$

Вычисляем $(-x)^2$:
Квадрат отрицательного числа равен квадрату положительного числа, т.е. $(-x)^2 = x^2$. Подставляем это в выражение:

$$y(-x) = 2x^2 — 1$$

Сравниваем $y(-x)$ с $y(x)$:
Напоминаем, что изначальная функция была $y(x) = 2x^2 — 1$. Видим, что:

$$y(-x) = y(x)$$

Таким образом, функция является четной, так как $y(-x) = y(x)$.

Ответ: Четная функция.

2) $y = x — x^3$

Теперь рассмотрим вторую функцию.

Подставляем $-x$ вместо $x$ в выражение для $y$:

$$y(-x) = (-x) — (-x)^3$$

Вычисляем куб отрицательного числа:
$(-x)^3 = -x^3$, так как куб числа сохраняет знак. Подставляем это в выражение:

$$y(-x) = -x — (-x^3) = -x + x^3$$

Сравниваем $y(-x)$ с $y(x)$:
Исходная функция была $y(x) = x — x^3$. Видим, что:

$$y(-x) = -x + x^3 = -(x — x^3) = -y(x)$$

Таким образом, функция является нечетной, так как $y(-x) = -y(x)$.

Ответ: Нечетная функция.

3) $y = x^5 — \frac{1}{x}$

Рассмотрим третью функцию.

Подставляем $-x$ вместо $x$ в выражение для $y$:

$$y(-x) = (-x)^5 — \frac{1}{-x}$$

Вычисляем степень и дробь:
$(-x)^5 = -x^5$, так как нечетная степень сохраняет знак. Также $\frac{1}{-x} = -\frac{1}{x}$. Подставляем это в выражение:

$$y(-x) = -x^5 + \frac{1}{x}$$

Сравниваем $y(-x)$ с $y(x)$:
Исходная функция была $y(x) = x^5 — \frac{1}{x}$. Видим, что:

$$y(-x) = -x^5 + \frac{1}{x} = -\left( x^5 — \frac{1}{x} \right) = -y(x)$$

Таким образом, функция является нечетной, так как $y(-x) = -y(x)$.

Ответ: Нечетная функция.

4) $y = \frac{\sin x}{x}$

Рассмотрим последнюю функцию.

Подставляем $-x$ вместо $x$ в выражение для $y$:

$$y(-x) = \frac{\sin(-x)}{-x}$$

Используем свойство синуса:
Известно, что синус — нечетная функция, т.е. $\sin(-x) = -\sin(x)$. Подставляем это в выражение:

$$y(-x) = \frac{-\sin(x)}{-x}$$

Упрощаем дробь:
$\frac{-\sin(x)}{-x} = \frac{\sin(x)}{x}$. Таким образом:

$$y(-x) = \frac{\sin(x)}{x}$$

Сравниваем $y(-x)$ с $y(x)$:
Исходная функция была $y(x) = \frac{\sin x}{x}$. Видим, что:

$$y(-x) = y(x)$$

Таким образом, функция является четной, так как $y(-x) = y(x)$.

Ответ: Четная функция.

Итоги:

1. Четная функция.
2. Нечетная функция.
3. Нечетная функция.
4. Четная функция.