ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1470 Алимов — Подробные Ответы

Выяснить, является ли функция чётной, нечётной или не является ни чётной, ни нечётной (1470—1472).

1. 2x+2^-x;
2. y=3x-3^-x;
3. y=ln ((3+x)/(3-x));
4. y=|ln((5+x)/(5-x)).

1. $y = 2^x + 2^{-x}$;
   $y(-x) = 2^{-x} + 2^{-(-x)} = 2^x + 2^{-x} = y(x)$;
   Ответ: четная.
2. $y = 3^x — 3^{-x}$;
   $y(-x) = 3^{-x} — 3^{-(-x)} = -3^x + 3^{-x} = -y(x)$;
   Ответ: нечетная.
3. $y = \ln \frac{3+x}{3-x} = \ln(3+x) — \ln(3-x)$;
   $y(-x) = \ln \frac{3-x}{3-(-x)} = \ln \frac{3-x}{3+x} = \ln(3-x) — \ln(3+x) = -y(x)$;
   Ответ: нечетная.
4. $y = \left| \ln \frac{5+x}{5-x} \right| = |\ln(5+x) — \ln(5-x)|$;
   $y(-x) = \left| \ln \frac{5-x}{5-(-x)} \right| = \left| \ln \frac{5-x}{5+x} \right| = |\ln(5-x) — \ln(5+x)| = y(x)$;
   Ответ: четная.

Задача состоит в определении четности или нечетности функций. Для этого будем использовать определения:

• Четная функция — это функция, для которой $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из области её определения.
• Нечетная функция — это функция, для которой $f(-x) = -f(x)$ для всех $x$ из области её определения.

Каждый пункт будет решён поэтапно с детальным объяснением.

1) $y = 2^x + 2^{-x}$

Нам необходимо проверить, является ли эта функция четной или нечетной. Для этого подставим $-x$ вместо $x$ в функцию и посмотрим, что получится:

$$y(-x) = 2^{-x} + 2^{-(-x)} = 2^{-x} + 2^x$$

Преобразуем:

$$y(-x) = 2^x + 2^{-x}$$

Мы видим, что $y(-x) = y(x)$, то есть функция $y = 2^x + 2^{-x}$ является четной.

Ответ: четная.

2) $y = 3^x — 3^{-x}$

Теперь проверим, является ли эта функция четной или нечетной. Подставим $-x$ в функцию:

$$y(-x) = 3^{-x} — 3^{-(-x)} = 3^{-x} — 3^x$$

Преобразуем:

$$y(-x) = -3^x + 3^{-x}$$

Теперь сравним с исходной функцией:

$$y(x) = 3^x — 3^{-x}$$

Замечаем, что $y(-x) = -y(x)$, то есть функция $y = 3^x — 3^{-x}$ является нечетной.

Ответ: нечетная.

3) $y = \ln \frac{3+x}{3-x}$

Функция дана в виде разности двух логарифмов:

$$y = \ln(3+x) — \ln(3-x)$$

Теперь проверим её четность или нечетность. Подставим $-x$ вместо $x$:

$$y(-x) = \ln \frac{3+(-x)}{3-(-x)} = \ln \frac{3-x}{3+x}$$

Преобразуем:

$$y(-x) = \ln(3-x) — \ln(3+x)$$

Заметим, что это равно:

$$y(-x) = -\left( \ln(3+x) — \ln(3-x) \right) = -y(x)$$

Таким образом, функция $y = \ln \frac{3+x}{3-x}$ является нечетной.

Ответ: нечетная.

4) $y = \left| \ln \frac{5+x}{5-x} \right|$

Теперь проверим функцию, содержащую абсолютное значение. Функция записана как:

$$y = \left| \ln(5+x) — \ln(5-x) \right|$$

Подставим $-x$ вместо $x$:

$$y(-x) = \left| \ln \frac{5-(-x)}{5-(-x)} \right| = \left| \ln \frac{5-x}{5+x} \right|$$

Преобразуем:

$$y(-x) = \left| \ln(5-x) — \ln(5+x) \right|$$

Это выражение совпадает с исходной функцией:

$$y(-x) = y(x)$$

Таким образом, функция $y = \left| \ln \frac{5+x}{5-x} \right|$ является четной.

Ответ: четная.

Итоги:

1. $y = 2^x + 2^{-x}$ — четная.
2. $y = 3^x — 3^{-x}$ — нечетная.
3. $y = \ln \frac{3+x}{3-x}$ — нечетная.
4. $y = \left| \ln \frac{5+x}{5-x} \right|$ — четная.