ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1458 Алимов — Подробные Ответы

Линейная функция задана формулой у = -3х/4 + 2. Найти:

1. точки А и В пересечения её графика с осями координат;
2. длину отрезка АВ;
3. расстояние от начала координат до прямой у = — 3х/4 + 2.

Дана функция: $y = -\frac{3}{4}x + 2$;

1) Точки $A$ и $B$ пересечения функции с осями координат:

• Точка $A$ — пересечение с осью $Ox$ ($y = 0$):

  $$-\frac{3}{4}x + 2 = 0;$$ $$-\frac{3}{4}x = -2, \text{ отсюда } x = \frac{8}{3};$$

• Точка $B$ — пересечение с осью $Oy$ ($x = 0$):

  $$y = -\frac{3}{4} \cdot 0 + 2 = 0 + 2 = 2;$$

Ответ: $A\left(\frac{8}{3}; 0\right); \, B(0; 2)$.

2) Длина отрезка $AB$:

$$AB = \sqrt{\left(\frac{8}{3}\right)^2 + 2^2} = \sqrt{\frac{64}{9} + 4} = \sqrt{\frac{64}{9} + \frac{36}{9}} = \sqrt{\frac{100}{9}} = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}.$$

Ответ: $3\frac{1}{3}$.

3) Расстояние от начала координат до данной прямой:

• Прямая, перпендикулярная данной, проходящая через точку $O(0; 0)$:

  $$k_1 = -\frac{1}{k} = -\left(-\frac{4}{3}\right) = \frac{4}{3};$$ $$0 = \frac{4}{3} \cdot 0 + b_1, \text{ отсюда } b_1 = 0;$$ $$y_1 = \frac{4}{3}x;$$

• Точка $C$ — пересечение этих прямых:

  $$-\frac{3}{4}x + 2 = \frac{4}{3}x \quad | \cdot 12;$$ $$-9x + 24 = 16x;$$ $$25x = 24, \text{ отсюда } x = \frac{24}{25};$$ $$y = \frac{4}{3} \cdot \frac{24}{25} = \frac{4 \cdot 8}{25} = \frac{32}{25};$$

• Длина отрезка $OC$:

  $$OC = \sqrt{\left(\frac{24}{25}\right)^2 + \left(\frac{32}{25}\right)^2} = \sqrt{\frac{576}{625} + \frac{1024}{625}} = \sqrt{\frac{1600}{625}} = \frac{40}{25} = \frac{8}{5};$$

Ответ: $\frac{8}{5}$.

Дана функция:

$$y = -\frac{3}{4}x + 2$$

Нужно:

1. Найти точки пересечения графика с осями координат.
2. Найти длину отрезка между этими точками.
3. Найти расстояние от начала координат $O(0;0)$ до этой прямой.

1) Точки пересечения прямой с осями координат

Пересечение с осью $Ox$ (где $y = 0$) — найдём $x$

Подставим $y = 0$ в уравнение:

$$0 = -\frac{3}{4}x + 2 \Rightarrow \frac{3}{4}x = 2 \Rightarrow x = \frac{2 \cdot 4}{3} = \frac{8}{3}$$

Получаем точку:

$$A\left(\frac{8}{3};\ 0\right)$$

Пересечение с осью $Oy$ (где $x = 0$) — найдём $y$

Подставим $x = 0$ в уравнение:

$$y = -\frac{3}{4} \cdot 0 + 2 = 2$$

Получаем точку:

$$B(0;\ 2)$$

Ответ к пункту 1:

$$A\left(\frac{8}{3};\ 0\right),\quad B(0;\ 2)$$

2) Длина отрезка $AB$

Используем формулу расстояния между двумя точками:

$$AB = \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2}$$

Подставим координаты:

$$A\left(\frac{8}{3};\ 0\right),\quad B(0;\ 2)$$ $$AB = \sqrt{\left(0 — \frac{8}{3}\right)^2 + (2 — 0)^2} = \sqrt{\left(\frac{-8}{3}\right)^2 + 2^2} = \sqrt{\frac{64}{9} + 4} = \sqrt{\frac{64}{9} + \frac{36}{9}} = \sqrt{\frac{100}{9}} = \frac{10}{3}$$ $$\frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}$$

Ответ к пункту 2:

$$AB = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}$$

3) Расстояние от начала координат $O(0; 0)$ до прямой

Прямая задана уравнением:

$$y = -\frac{3}{4}x + 2$$

Ищем расстояние от точки $O(0;0)$ до этой прямой. Это кратчайшее расстояние — перпендикуляр из начала координат.

Шаг 1: Найдём уравнение прямой, перпендикулярной данной

Наклон исходной прямой: $k = -\frac{3}{4}$
Наклон перпендикулярной прямой:

$$k_1 = -\frac{1}{k} = -\left(-\frac{4}{3}\right) = \frac{4}{3}$$

Эта прямая проходит через точку $O(0;0)$, поэтому:

$$y = \frac{4}{3}x$$

Шаг 2: Найдём точку пересечения этих прямых (обозначим её $C$)

Приравниваем:

$$-\frac{3}{4}x + 2 = \frac{4}{3}x$$

Избавимся от дробей — умножим обе части на 12:

$$-9x + 24 = 16x \Rightarrow 25x = 24 \Rightarrow x = \frac{24}{25}$$

Подставим $x$ в $y = \frac{4}{3}x$:

$$y = \frac{4}{3} \cdot \frac{24}{25} = \frac{96}{75} = \frac{32}{25}$$

Точка $C\left(\frac{24}{25};\ \frac{32}{25}\right)$

Шаг 3: Найдём длину отрезка $OC$

Используем формулу расстояния:

$$OC = \sqrt{\left(\frac{24}{25}\right)^2 + \left(\frac{32}{25}\right)^2} = \sqrt{\frac{576}{625} + \frac{1024}{625}} = \sqrt{\frac{1600}{625}} = \sqrt{\frac{64}{25}} = \frac{8}{5}$$

Ответ к пункту 3:

$$OC = \frac{8}{5}$$

Окончательный ответ:

1. $A\left(\frac{8}{3};\ 0\right),\quad B(0;\ 2)$
2. $AB = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}$
3. $OC = \frac{8}{5}$