ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1451 Алимов — Подробные Ответы

Произведение пятого и шестого членов арифметической прогрессии в 33 раза больше произведения её первого и второго членов. Во сколько раз пятый член прогрессии больше второго, если известно, что все члены прогрессии положительны?

Пусть $a(n)$ — данная арифметическая прогрессия с разностью $d$;

Произведение пятого и шестого членов в 33 раза больше произведения первого и второго членов, значит:

$$a_5 \cdot a_6 = 33(a_1 \cdot a_2);$$ $$(a_1 + 4d)(a_1 + 5d) = 33a_1(a_1 + d);$$ $$a_1^2 + 5da_1 + 4da_1 + 20d^2 = 33a_1^2 + 33da_1;$$ $$32a_1^2 + 24da_1 — 20d^2 = 0;$$ $$8a_1^2 + 6da_1 — 5d^2 = 0;$$ $$D = (6d)^2 + 4 \cdot 8 \cdot 5d^2 = 36d^2 + 160d^2 = 196d^2,$$

тогда:

$$a_{11} = \frac{-6d — \sqrt{196d^2}}{2 \cdot 8} = \frac{-6d — 14d}{16} = \frac{-20d}{16} = -\frac{5d}{4};$$ $$a_{12} = \frac{-6d + \sqrt{196d^2}}{2 \cdot 8} = \frac{-6d + 14d}{16} = \frac{8d}{16} = \frac{d}{2};$$

Все члены арифметической прогрессии положительны, значит:

$$a_1 = \frac{d}{2};$$

Найдем отношение пятого и второго члена прогрессии:

$$\frac{a_5}{a_2} = \frac{a_1 + 4d}{a_1 + d} = \frac{\frac{d}{2} + 4d}{\frac{d}{2} + d} = \frac{\frac{9d}{2}}{\frac{3d}{2}} = \frac{9d}{3d} = 3;$$

Ответ: в три раза.

1. Задаём обозначения

По формуле общего члена

$$a_n = a_1 + (n-1)d.$$

2. Записываем нужные члены

$$\begin{aligned} a_1 &= a_1,\\ a_2 &= a_1 + d,\\ a_5 &= a_1 + 4d,\\ a_6 &= a_1 + 5d . \end{aligned}$$

3. Переводим условие задачи в математическое равенство

«Произведение пятого и шестого членов в 33 раз больше произведения первого и второго»:

$$a_5 \cdot a_6 = 33 \, \bigl(a_1 \cdot a_2\bigr).$$

Подставляем выражения из § 2:

$$(a_1 + 4d)(a_1 + 5d)=33 \, a_1(a_1 + d).$$

4. Раскрываем скобки и приводим подобные члены

Левая часть:

$$(a_1 + 4d)(a_1 + 5d)=a_1^2+9a_1d+20d^2.$$

Правая часть:

$$33\,a_1(a_1+d)=33a_1^2+33a_1d.$$

Переносим всё в одну сторону:

$$a_1^2+9a_1d+20d^2-33a_1^2-33a_1d=0.$$

Собираем коэффициенты:

$$-32a_1^2-24a_1d+20d^2=0 \;\Longrightarrow\; 32a_1^2+24a_1d-20d^2=0.$$

Для простоты делим обе части на 4:

$$8a_1^2+6a_1d-5d^2=0. \tag{★}$$

5. Решаем квадратное уравнение относительно $a_1$

Уравнение (★) имеет вид

$$8a_1^2+6d\,a_1-5d^2=0.$$

• Коэффициенты: $A=8,\; B=6d,\; C=-5d^2$.
• Дискриминант:

  $$D=B^2-4AC=(6d)^2-4\cdot8\cdot(-5d^2)=36d^2+160d^2=196d^2.$$

• Корень дискриминанта: $\sqrt{D}=14|d|$.

Используем общую формулу:

$$a_1=\frac{-B\pm\sqrt{D}}{2A} =\frac{-6d\pm14d}{16}.$$

Получаем два корня:

$$\boxed{a_1=\frac{-20d}{16}=-\dfrac{5d}{4}} \quad\text{и}\quad \boxed{a_1=\frac{ 8d}{16}= \dfrac{d}{2}}.$$

6. Отбираем корень, совместимый с условием «все члены положительны»

1. $a_1=-\dfrac{5d}{4}$
   Для положительного $d$ первый член отрицателен.
   Для отрицательного $d$ первый член становится положительным, но тогда $a_6=a_1+5d$ отрицателен.
   → Не подходит.
2. $a_1=\dfrac{d}{2}$
   Чтобы все члены были $>\!0$, достаточно потребовать $d>0$ (тогда от $a_1$ до $a_6$ все значения положительны).
   → Подходит.

Итак, принимаем

$$\boxed{a_1=\dfrac{d}{2}}, \qquad d>0.$$

7. Вычисляем отношение $a_5:a_2$

$$\frac{a_5}{a_2} =\frac{a_1+4d}{a_1+d} =\frac{\frac{d}{2}+4d}{\frac{d}{2}+d} =\frac{\frac{9d}{2}}{\frac{3d}{2}} =\frac{9}{3} =\boxed{3}.$$

8. Проверка условия с найденными значениями

• $a_1=\dfrac{d}{2},\; d>0$.
• $a_5=\dfrac{d}{2}+4d=\dfrac{9d}{2}$,
  $a_6=\dfrac{d}{2}+5d=\dfrac{11d}{2}$.
• $a_2=\dfrac{d}{2}+d=\dfrac{3d}{2}$.

Проверяем исходное равенство:

$$a_5a_6=\frac{9d}{2}\cdot\frac{11d}{2}=\frac{99d^2}{4}, \qquad 33a_1a_2 =33\cdot\frac{d}{2}\cdot\frac{3d}{2} =33\cdot\frac{3d^2}{4} =\frac{99d^2}{4}.$$

Совпадает.

9. Итог

Пятый член арифметической прогрессии в три раза больше второго.

$$\boxed{\,a_5 : a_2 = 3:1\,}.$$