ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1448 Алимов — Подробные Ответы

Найти сумму первых двенадцати членов арифметической прогрессии, если сумма первых трёх её членов равна нулю, а сумма четырёх первых членов равна 1.

Пусть $a(n)$ — данная арифметическая прогрессия с разностью $d$.

Сумма первых трех членов равна нулю, значит:

$$a_1 + a_2 + a_3 = 0;$$ $$a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) = 0;$$ $$3a_1 + 3d = 0;$$ $$a_1 + d = 0;$$ $$a_1 = -d;$$

Сумма четырех первых членов равна единице, значит:

$$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 1;$$ $$a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) + (a_1 + 3d) = 1;$$ $$4a_1 + 6d = 1;$$ $$-4d + 6d = 1;$$ $$2d = 1, \text{ отсюда } d = 0.5;$$ $$a_1 = -0.5;$$

Сумма первых 12 членов арифметической прогрессии:

$$S_{12} = \frac{2a_1 + d(n — 1)}{2} \cdot n = \frac{2 \cdot (-0.5) + 0.5(12 — 1)}{2} \cdot 12;$$ $$S_{12} = \left(-1 + 5.5\right) \cdot 6 = 4.5 \cdot 6 = 27;$$

Ответ: 27.

Условие задачи:

• Арифметическая прогрессия $a(n)$ с разностью $d$.
• Сумма первых трёх членов равна 0.
• Сумма первых четырёх членов равна 1.
• Найти сумму первых 12 членов.

Шаг 1. Вспомним формулы арифметической прогрессии

Арифметическая прогрессия:

$$a_1,\, a_2 = a_1 + d,\, a_3 = a_1 + 2d,\, a_4 = a_1 + 3d,\, \dots$$

Формула суммы первых $n$ членов:

$$S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + d(n — 1))$$

Шаг 2. Запишем первое условие: сумма первых трёх членов равна 0

Сумма:

$$a_1 + a_2 + a_3 = 0$$

Подставим выражения через $a_1$ и $d$:

$$a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) = 0 \Rightarrow 3a_1 + 3d = 0$$

Разделим обе части на 3:

$$a_1 + d = 0 \Rightarrow a_1 = -d \tag{1}$$

Шаг 3. Запишем второе условие: сумма первых четырёх членов равна 1

Сумма:

$$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 1$$

Подставим:

$$a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) + (a_1 + 3d) = 1 \Rightarrow 4a_1 + 6d = 1 \tag{2}$$

Шаг 4. Подставим выражение $a_1 = -d$ из (1) в уравнение (2)

$$4(-d) + 6d = 1 \Rightarrow -4d + 6d = 1 \Rightarrow 2d = 1 \Rightarrow d = 0.5$$

Теперь найдём $a_1$:

$$a_1 = -d = -0.5$$

Шаг 5. Найдём сумму первых 12 членов

Вспомним формулу:

$$S_{12} = \frac{12}{2} \cdot (2a_1 + d(12 — 1)) = 6 \cdot (2a_1 + 11d)$$

Подставим значения $a_1 = -0.5$, $d = 0.5$:

$$S_{12} = 6 \cdot \left(2 \cdot (-0.5) + 11 \cdot 0.5\right) = 6 \cdot (-1 + 5.5) = 6 \cdot 4.5 = 27$$

Ответ:

$$\boxed{27}$$