ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1447 Алимов — Подробные Ответы

Найти четыре числа, являющиеся последовательными членами геометрической прогрессии, если третье число больше первого на 9, а второе больше четвёртого на 18.

Пусть $b(n)$ — данная геометрическая прогрессия со знаменателем $q$.

Третье число больше первого на 9, значит:

$$b_3 — b_1 = 9;$$ $$b_1 q^2 — b_1 = 9;$$ $$b_1 \cdot (q^2 — 1) = 9;$$ $$b_1 = \frac{9}{q^2 — 1};$$

Второе число больше четвёртого на 18, значит:

$$b_2 — b_4 = 18;$$ $$b_1 q — b_1 q^3 = 18;$$ $$b_1 \cdot (q — q^3) = 18;$$ $$b_1 = \frac{18}{q — q^3};$$

Составим и решим уравнение:

$$\frac{9}{q^2 — 1} = \frac{18}{q — q^3};$$ $$9(q — q^3) = 18(q^2 — 1);$$ $$q — q^3 = 2q^2 — 2;$$ $$q^3 + 2q^2 — q — 2 = 0;$$ $$q^2 \cdot (q + 2) — (q + 2) = 0;$$ $$(q + 2)(q^2 — 1) = 0;$$ $$q_1 = -2, \quad q_2 = \pm 1;$$

Выражение имеет смысл при:

$$q^2 — 1 \neq 0, \text{отсюда } q \neq \pm 1;$$

Искомые значения:

$$q = -2;$$ $$b_1 = \frac{9}{(-2)^2 — 1} = \frac{9}{4 — 1} = \frac{9}{3} = 3;$$ $$b_2 = 3 \cdot (-2) = -6;$$ $$b_3 = -6 \cdot (-2) = 12;$$ $$b_4 = 12 \cdot (-2) = -24;$$

Ответ: $3; -6; 12; -24$.

Условие:

Найти четыре последовательных числа геометрической прогрессии, если:

• Третье число больше первого на 9, и
• Второе число больше четвёртого на 18.

Шаг 1. Вводим обозначения

Обозначим:

• $b_1$ — первое число прогрессии;
• $q$ — знаменатель геометрической прогрессии;

Тогда:

• $b_2 = b_1 \cdot q$,
• $b_3 = b_1 \cdot q^2$,
• $b_4 = b_1 \cdot q^3$.

Шаг 2. Запишем условия задачи через формулы

Условие 1:

Третье число больше первого на 9:

$$b_3 — b_1 = 9$$

Подставляем:

$$b_1 q^2 — b_1 = 9 \Rightarrow b_1 (q^2 — 1) = 9 \tag{1}$$

Условие 2:

Второе число больше четвёртого на 18:

$$b_2 — b_4 = 18$$

Подставляем:

$$b_1 q — b_1 q^3 = 18 \Rightarrow b_1 (q — q^3) = 18 \tag{2}$$

Шаг 3. Найдём $b_1$ из обоих уравнений

Из уравнения (1):

$$b_1 = \frac{9}{q^2 — 1} \tag{3}$$

Из уравнения (2):

$$b_1 = \frac{18}{q — q^3} \tag{4}$$

Шаг 4. Приравниваем выражения для $b_1$

$$\frac{9}{q^2 — 1} = \frac{18}{q — q^3}$$

Домножим крест-накрест:

$$9(q — q^3) = 18(q^2 — 1)$$

Шаг 5. Раскроем скобки и упростим

Левая часть:

$$9(q — q^3) = 9q — 9q^3$$

Правая часть:

$$18(q^2 — 1) = 18q^2 — 18$$

Получаем уравнение:

$$9q — 9q^3 = 18q^2 — 18$$

Переносим всё в одну сторону:

$$-9q^3 — 18q^2 + 9q + 18 = 0$$

Разделим на -1:

$$9q^3 + 18q^2 — 9q — 18 = 0$$

Вынесем общий множитель 9:

$$q^3 + 2q^2 — q — 2 = 0 \tag{5}$$

Шаг 6. Решим кубическое уравнение

$$q^3 + 2q^2 — q — 2 = 0$$

Группируем:

$$(q^3+2q^2)-(q+2)=0\Rightarrow q^2(q+2)-1(q+2)=0$$

$$(q^3 + 2q^2) — (q + 2) = 0 \Rightarrow q^2(q + 2) — 1(q + 2) = 0 \Rightarrow (q + 2)(q^2 — 1) = 0 \Rightarrow (q + 2)(q — 1)(q + 1) = 0$$

Корни:

• $q = -2$
• $q = 1$
• $q = -1$

Шаг 7. Проверим допустимые значения

Из формулы:

$$b_1 = \frac{9}{q^2 — 1}$$

Если $q = 1$ или $q = -1$, то $q^2 — 1 = 0$, и знаменатель будет равен 0 ⇒ недопустимо.

Остаётся только один допустимый корень:

$$q = -2$$

Шаг 8. Найдём $b_1$ и остальные члены прогрессии

Подставим $q = -2$ в (3):

$$b_1 = \frac{9}{(-2)^2 — 1} = \frac{9}{4 — 1} = \frac{9}{3} = 3$$

Теперь находим остальные члены:

• $b_2 = b_1 \cdot q = 3 \cdot (-2) = -6$
• $b_3 = b_2 \cdot q = -6 \cdot (-2) = 12$
• $b_4 = b_3 \cdot q = 12 \cdot (-2) = -24$

Шаг 9. Проверка условий

• Третье число $b_3 = 12$, первое число $b_1 = 3$:
  $12 — 3 = 9$
• Второе число $b_2 = -6$, четвёртое число $b_4 = -24$:
  $-6 — (-24) = -6 + 24 = 18$

Ответ:

$$\boxed{3;\ -6;\ 12;\ -24}$$