ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1443 Алимов — Подробные Ответы

Две организации приобрели театральные билеты. Первая организация израсходовала на билеты 3000 р., а вторая, купившая на 5 билетов меньше и заплатившая за каждый билет на 30 р. меньше первой организации, уплатила за билеты 1800 р. Сколько театральных билетов купила каждая организация?

Пусть $x$ руб. — цена закупки билетов первой организацией, тогда:

• $(x — 30)$ руб. — цена закупки билетов второй организацией;
• $\frac{3000}{x}$ шт. — билетов купила первая организация;
• $\frac{1800}{x — 30}$ шт. — билетов купила вторая организация;

Вторая организация купила на пять билетов меньше, значит:

$$\frac{3000}{x} — \frac{1800}{x — 30} = 5 \quad | \cdot x(x — 30);$$ $$3000(x — 30) — 1800x = 5x(x — 30);$$ $$3000x — 90000 — 1800x = 5x^2 — 150x;$$ $$5x^2 — 1350x + 90000 = 0 \quad | : 5;$$ $$x^2 — 270x + 18000 = 0;$$ $$D = 270^2 — 4 \cdot 18000 = 72900 — 72000 = 900, \text{ тогда:}$$ $$x_1 = \frac{270 — 30}{2} = 120 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{270 + 30}{2} = 150;$$

Первое значение:

$$\frac{3000}{120} = 25 \ (\text{шт.}) \quad \text{и} \quad \frac{1800}{120 — 30} = \frac{1800}{90} = 20 \ (\text{шт.});$$

Второе значение:

$$\frac{3000}{150} = 20 \ (\text{шт.}) \quad \text{и} \quad \frac{1800}{150 — 30} = \frac{1800}{120} = 15 \ (\text{шт.});$$

Ответ: 25 и 20 билетов; 20 и 15 билетов.

У нас есть две организации, которые покупают театральные билеты. Из условия задачи нам даны следующие данные:

1. Первая организация заплатила 3000 рублей за билеты.
2. Вторая организация купила на 5 билетов меньше, чем первая, и заплатила за каждый билет на 30 рублей меньше, чем первая организация. Общая сумма, которую заплатила вторая организация, составила 1800 рублей.

Необходимо найти, сколько билетов купила каждая организация.

Шаг 1: Обозначения и выражения

Пусть:

• $x$ — цена закупки одного билета для первой организации (в рублях).
• Тогда цена одного билета для второй организации будет равна $x — 30$ (так как она заплатила на 30 рублей меньше за каждый билет).
• Пусть $n_1$ — количество билетов, которые купила первая организация.
• Пусть $n_2$ — количество билетов, которые купила вторая организация.

Из условия задачи мы знаем:

• Первая организация потратила 3000 рублей на покупку билетов. Следовательно, количество билетов, которое она купила, можно выразить как $n_1 = \frac{3000}{x}$.
• Вторая организация потратила 1800 рублей. Следовательно, количество билетов, которое она купила, можно выразить как $n_2 = \frac{1800}{x — 30}$.

Также из условия задачи сказано, что вторая организация купила на 5 билетов меньше, чем первая. Это дает нам уравнение:

$$n_1 — n_2 = 5$$

Подставим выражения для $n_1$ и $n_2$:

$$\frac{3000}{x} — \frac{1800}{x — 30} = 5$$

Шаг 2: Умножим обе части уравнения на $x(x — 30)$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на $x(x — 30)$:

$$x(x — 30) \left( \frac{3000}{x} — \frac{1800}{x — 30} \right) = 5 \cdot x(x — 30)$$

Применяя распределительное свойство умножения, получаем:

$$3000(x — 30) — 1800x = 5x(x — 30)$$

Теперь раскроем скобки:

$$3000x — 90000 — 1800x = 5x^2 — 150x$$

Соберем все члены на одной стороне уравнения:

$$3000x — 1800x — 90000 = 5x^2 — 150x$$ $$1200x — 90000 = 5x^2 — 150x$$

Переносим все члены в одну сторону:

$$5x^2 — 150x — 1200x + 90000 = 0$$

Упрощаем:

$$5x^2 — 1350x + 90000 = 0$$

Шаг 3: Решим квадратное уравнение

Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого используем дискриминант:

$$D = b^2 — 4ac$$

где $a = 5$, $b = -1350$, и $c = 90000$. Подставляем значения:

$$D = (-1350)^2 — 4 \cdot 5 \cdot 90000 = 1822500 — 1800000 = 22500$$

Теперь находим корни уравнения:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения:

$$x = \frac{1350 \pm \sqrt{22500}}{2 \cdot 5} = \frac{1350 \pm 150}{10}$$

Получаем два корня:

$$x_1 = \frac{1350 — 150}{10} = \frac{1200}{10} = 120$$ $$x_2 = \frac{1350 + 150}{10} = \frac{1500}{10} = 150$$

Шаг 4: Проверим оба значения

Для $x_1 = 120$:

• Первая организация купила $n_1 = \frac{3000}{120} = 25$ билетов.
• Вторая организация купила $n_2 = \frac{1800}{120 — 30} = \frac{1800}{90} = 20$ билетов.

Вторая организация купила на 5 билетов меньше, чем первая, что соответствует условию задачи.

Для $x_2 = 150$:

• Первая организация купила $n_1 = \frac{3000}{150} = 20$ билетов.
• Вторая организация купила $n_2 = \frac{1800}{150 — 30} = \frac{1800}{120} = 15$ билетов.

Вторая организация купила на 5 билетов меньше, чем первая, что также соответствует условию задачи.

Ответ:

Первая организация могла купить либо 25 билетов, а вторая — 20, либо первая организация могла купить 20 билетов, а вторая — 15.