ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1442 Алимов — Подробные Ответы

Катер направился от речного причала вниз по реке и, пройдя 36 км, догнал плот, отправленный от того же причала за 10 ч до начала движения катера. Если бы катер отправился одновременно с плотом, то, пройдя 30 км и повернув обратно, встретил бы плот на расстоянии 10 км от речного причала. Найти собственную скорость катера.

Пусть $x$ км/ч — собственная скорость катера, тогда:

$$\frac{36}{10} = 3.6 \text{ км/ч} — \text{собственная скорость плота (скорость течения)};$$ $$(x + 3.6) \text{ км/ч} — \text{скорость катера по течению реки};$$ $$(x — 3.6) \text{ км/ч} — \text{скорость катера против течения реки};$$ $$\frac{30}{x + 3.6} \text{ ч} — \text{время, затраченное на путь по течению катером};$$ $$\frac{20}{x — 3.6} \text{ ч} — \text{время, затраченное на путь против течения катером};$$ $$\frac{30 — 20}{3.6} = \frac{10}{3.6} \text{ ч} — \text{время, затраченное на путь плотом};$$

Составим и решим уравнение:

$$\frac{30}{x + 3.6} + \frac{20}{x — 3.6} = \frac{10}{3.6} \quad | : 10;$$ $$\frac{30}{x + 3.6} + \frac{20}{x — 3.6} = \frac{10}{3.6} \quad | \cdot 36(100x^2 — 1296);$$ $$10x + 36 + 10x — 36 = 10(100x^2 — 1296);$$ $$30 \cdot 36(10x — 36) + 20 \cdot 36(10x + 36) = 10(100x^2 — 1296);$$ $$10800x — 38880 + 7200x + 25920 = 1000x^2 — 12960;$$ $$1000x^2 — 18000x = 0;$$ $$x^2 — 18x = 0;$$ $$x \cdot (x — 18) = 0;$$ $$x_1 = 0 \text{ и } x_2 = 18;$$

Скорость катера не может быть равна нулю, значит:

$$x = 18 \text{ (км/ч)};$$

Ответ: $18$ км/ч.

Обозначения:

• $x$ — собственная скорость катера (км/ч).
• Скорость течения реки: 3.6 км/ч (дано в условии задачи как $\frac{36}{10}$).
• $x + 3.6$ — скорость катера по течению реки (вверх по реке скорость увеличивается за счёт течения).
• $x — 3.6$ — скорость катера против течения реки (скорость катера уменьшается за счёт течения).
• Время, которое катер тратит на путь по течению: $\frac{30}{x + 3.6}$.
• Время, которое катер тратит на путь против течения: $\frac{20}{x — 3.6}$.
• Время, которое плот тратит на путь по течению: $\frac{10}{3.6}$, так как скорость плота по течению равна скорости течения (3.6 км/ч).

Составление уравнения:

Согласно задаче, общее время, затраченное катером (по течению и против течения), равно времени, затраченному плотом. То есть:

$$\frac{30}{x + 3.6} + \frac{20}{x — 3.6} = \frac{10}{3.6}.$$

Теперь решим это уравнение.

1. Приведение к общему знаменателю:
   Умножим обе части уравнения на 10 (для избавления от дроби с 10 в правой части):

   $$\frac{30}{x + 3.6} + \frac{20}{x — 3.6} = \frac{10}{3.6} \quad \rightarrow \quad \frac{30}{x + 3.6} + \frac{20}{x — 3.6} = \frac{100}{36}.$$

2. Умножение обеих частей на 36 для удобства работы с числами:
   Умножим обе части уравнения на 36, чтобы избавиться от дробей:

   $$36 \cdot \left( \frac{30}{x + 3.6} + \frac{20}{x — 3.6} \right) = 100.$$

   После этого получим:

   $$\frac{36 \cdot 30}{x + 3.6} + \frac{36 \cdot 20}{x — 3.6} = 100.$$

   Давайте теперь упростим выражения:

   $$\frac{1080}{x + 3.6} + \frac{720}{x — 3.6} = 100.$$

3. Приведение к общему знаменателю:
   Далее, для упрощения мы можем привести к общему знаменателю. Общий знаменатель для $(x + 3.6)(x — 3.6)$ — это разность квадратов:

   $$(x + 3.6)(x — 3.6) = x^2 — 3.6^2 = x^2 — 12.96.$$

   Теперь перепишем уравнение:

   $$\frac{1080(x — 3.6) + 720(x + 3.6)}{x^2 — 12.96} = 100.$$

4. Раскрытие скобок:
   Теперь раскроем скобки в числителе:

   $$1080(x — 3.6) + 720(x + 3.6) = 1080x — 3888 + 720x + 2592.$$

   Упростим числитель:

   $$(1080x + 720x) + (-3888 + 2592) = 1800x — 1296.$$

   Подставим это в уравнение:

   $$\frac{1800x — 1296}{x^2 — 12.96} = 100.$$

5. Умножение обеих частей уравнения на $(x^2 — 12.96)$:
   Умножим обе части уравнения на $x^2 — 12.96$ для избавления от дроби:

   $$1800x — 1296 = 100(x^2 — 12.96).$$

6. Раскрытие скобок в правой части:
   Раскроем скобки:

   $$1800x — 1296 = 100x^2 — 1296.$$

   Упростим:

   $$1800x = 100x^2.$$

7. Приведение уравнения к стандартному виду:
   Переносим все элементы в одну часть:

   $$100x^2 — 1800x = 0.$$

8. Решение квадратного уравнения:
   Выносим $x$ за скобки:

   $$x(100x — 1800) = 0.$$

   У нас два решения:

   $$x = 0 \quad \text{или} \quad 100x — 1800 = 0.$$

   Решаем второе уравнение:

   $$100x = 1800 \quad \Rightarrow \quad x = 18.$$

9. Ответ:
   Поскольку $x = 0$ не подходит в контексте задачи (скорость катера не может быть равна нулю), то единственно правильное решение:

   $$x = 18 \text{ км/ч}.$$

Ответ: $18$ км/ч.