ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1441 Алимов — Подробные Ответы

Бригада рабочих должна была к определённому сроку изготовить 360 деталей. Перевыполняя дневную норму на 9 деталей, бригада за день до срока перевыполнила плановое задание на 5%. Сколько деталей изготовит бригада к сроку, если будет продолжать работать с той же производительностью труда?

Пусть $x$ шт — дневная норма деталей, тогда:

• $(x + 9)$ шт — изготавливали рабочие деталей за день;
• $\frac{360}{x}$ сут — должно было занять выполнение плана;
• $\frac{360 \cdot 1.05}{x + 9} = \frac{378}{x + 9}$ сут — заняло перевыполнение плана на $5\%$;

Перевыполнение плана на $5\%$ завершили за день до срока, значит:

$$\frac{360}{x} — \frac{378}{x + 9} = 1 \quad | \cdot x(x + 9);$$ $$360(x + 9) — 378x = x(x + 9);$$ $$360x + 3240 — 378x = x^2 + 9x;$$ $$3240 — 18x = x^2 + 9x;$$ $$x^2 + 27x — 3240 = 0;$$ $$D = 27^2 + 4 \cdot 3240 = 729 + 12960 = 13689, \text{ тогда:}$$ $$x_1 = \frac{-27 — 117}{2} = -72 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-27 + 117}{2} = 45;$$

Количество деталей не может быть отрицательным, значит:

$$x = 45 \ (\text{шт});$$

Количество изготовленных деталей к концу планируемого срока:

$$N = 378 + (45 + 9) = 378 + 54 = 432 \ (\text{шт});$$

Ответ: $432$ детали.

Условия задачи:

1. Бригада рабочих должна была изготовить 360 деталей к определённому сроку.
2. Бригада увеличила свою дневную норму на 9 деталей, что позволило ей перевыполнить плановое задание на 5% за день до срока.
3. Нужно найти, сколько деталей будет изготовлено бригадой к сроку, если она будет продолжать работать с той же производительностью труда.

Шаг 1: Обозначим переменные

Пусть:

• $x$ — это дневная норма деталей, которую бригада должна была изготовить по плану.
• $x + 9$ — это фактическая дневная норма деталей, которую бригада изготовляет, увеличив свою производительность на 9 деталей.

Шаг 2: Найдем время, которое должно было занять выполнение плана

Объем работы равен 360 деталям, и если бригада работает с нормой $x$ деталей в день, то план по количеству дней для выполнения работы составит:

$$\frac{360}{x} \quad \text{(суток)}.$$

Шаг 3: Перевыполнение плана

Мы знаем, что бригада перевыполнила план на 5% и завершила работу на день раньше. Если бы бригада работала в обычном режиме, то она бы выполнила 360 деталей за $\frac{360}{x}$ дней. Но она завершила работу на день раньше, то есть фактически работа была завершена за $\frac{360}{x} — 1$ дней.

Также известно, что за этот сокращённый срок бригада изготовила на 5% больше деталей. Это означает, что фактически было изготовлено $360 + 5\% = 360 \times 1.05 = 378$ деталей.

Время, которое бригада потратила на выполнение перевыполненного плана, равно:

$$\frac{378}{x + 9} \quad \text{(суток)}.$$

Шаг 4: Составим уравнение для времени работы

Составим уравнение для времени работы. Мы знаем, что время, затраченное на выполнение перевыполненного плана, равно времени, которое бригада потратила на выполнение плана, уменьшенному на 1 день:

$$\frac{360}{x} — \frac{378}{x + 9} = 1.$$

Шаг 5: Решим уравнение

Умножим обе части уравнения на $x(x + 9)$ для избавления от знаменателей:

$$x(x + 9)\left( \frac{360}{x} — \frac{378}{x + 9} \right) = x(x + 9) \times 1.$$

Применим распределение умножения:

$$360(x + 9) — 378x = x(x + 9).$$

Раскроем скобки:

$$360x + 3240 — 378x = x^2 + 9x.$$

Переносим все слагаемые на одну сторону:

$$360x — 378x + 3240 = x^2 + 9x.$$

Упрощаем:

$$-18x + 3240 = x^2 + 9x.$$

Переносим все на одну сторону:

$$x^2 + 9x + 18x — 3240 = 0,$$ $$x^2 + 27x — 3240 = 0.$$

Шаг 6: Решим квадратное уравнение

Теперь решим квадратное уравнение $x^2 + 27x — 3240 = 0$. Для этого используем формулу дискриминанта.

Находим дискриминант:

$$D = b^2 — 4ac = 27^2 — 4 \times 1 \times (-3240) = 729 + 12960 = 13689.$$

Находим корни уравнения:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-27 \pm \sqrt{13689}}{2 \times 1}.$$

Вычисляем:

$$\sqrt{13689} = 117,$$ $$x = \frac{-27 \pm 117}{2}.$$

Таким образом, у нас два возможных корня:

$$x_1 = \frac{-27 — 117}{2} = -72 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-27 + 117}{2} = 45.$$

Поскольку количество деталей не может быть отрицательным, то $x = 45$.

Шаг 7: Найдем количество деталей, изготовленных к сроку

Теперь, зная, что дневная норма деталей равна $x = 45$, вычислим, сколько деталей будет изготовлено за весь срок. Площадь работы будет завершена через $\frac{360}{45} = 8$ дней.

Следовательно, количество деталей, которые будут изготовлены к сроку, будет равно:

$$N = 378 + (45 + 9) = 378 + 54 = 432.$$

Ответ:

Бригада изготовит 432 детали к сроку.