ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1440 Алимов — Подробные Ответы

Сумма трёх чисел равна 1. Разность первого и второго чисел равна третьему числу. Сумма первых двух чисел в 5 раз больше третьего числа. Найти эти числа.

Пусть $x, y$ и $z$ — данные числа;

Сумма данных чисел равна 1, значит:
$x + y + z = 1;$

Разность первого и второго чисел равна третьему числу, значит:
$x — y = z;$
$x = z + y;$

Сумма первых двух чисел в пять раз больше третьего числа, значит:
$x + y = 5z;$
$z + y + y = 5z;$
$2y = 4z;$
$y = 2z;$

Составим и решим уравнение:
$(z + y) + y + z = 1;$
$z + 2z + 2z + z = 1;$
$6z = 1, \text{отсюда } z = \frac{1}{6};$
$y = 2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{3};$
$x = \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2};$

Ответ: $\frac{1}{2}; \frac{1}{3}; \frac{1}{6}$.

Условия задачи:

1. Сумма трех чисел равна 1.
2. Разность первого и второго чисел равна третьему числу.
3. Сумма первых двух чисел в 5 раз больше третьего числа.
4. Нужно найти эти числа.

Шаг 1: Обозначим переменные

Пусть:

• $x$ — первое число,
• $y$ — второе число,
• $z$ — третье число.

Шаг 2: Запишем уравнения на основе данных условий

1. Сумма чисел равна 1:

$$x + y + z = 1. \tag{1}$$

2. Разность первого и второго чисел равна третьему числу:

$$x — y = z. \tag{2}$$

3. Сумма первых двух чисел в 5 раз больше третьего числа:

$$x + y = 5z. \tag{3}$$

Шаг 3: Решение системы уравнений

У нас есть система из трех уравнений. Давайте решать её пошагово.

1. Из уравнения (2) выразим $x$:

$$x = z + y. \tag{4}$$

2. Подставим выражение для $x$ из уравнения (4) в уравнение (3):

Подставляем $x = z + y$ в уравнение (3):

$$(z + y) + y = 5z.$$

Упростим это:

$$z + 2y = 5z.$$

Переносим все $z$-слагаемые на одну сторону:

$$2y = 4z.$$

Теперь разделим обе части на 2:

$$y = 2z. \tag{5}$$

3. Подставим $y = 2z$ в уравнение (1):

Теперь, когда мы знаем, что $y = 2z$, подставим это в уравнение (1):

$$x + 2z + z = 1.$$

Упростим:

$$x + 3z = 1.$$

Теперь подставим $x = z + y = z + 2z = 3z$ (из уравнения (4)):

$$3z + 3z = 1.$$

Это упрощается до:

$$6z = 1.$$

Теперь разделим обе части на 6:

$$z = \frac{1}{6}.$$

4. Найдем $y$ и $x$:

Теперь, когда мы знаем, что $z = \frac{1}{6}$, подставим это значение в уравнение (5) для $y$:

$$y = 2z = 2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{3}.$$

И подставим значение $z = \frac{1}{6}$ в уравнение (4) для $x$:

$$x = 3z = 3 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{2}.$$

Шаг 4: Проверим решения

Проверим, удовлетворяют ли найденные значения условиям задачи.

Сумма чисел:

$$x + y + z = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}.$$

Приведем дроби к общему знаменателю (6):

$$x + y + z = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{6}{6} = 1.$$

Это условие выполнено.

Разность первого и второго чисел:

$$x — y = \frac{1}{2} — \frac{1}{3} = \frac{3}{6} — \frac{2}{6} = \frac{1}{6} = z.$$

Это условие также выполнено.

Сумма первых двух чисел в 5 раз больше третьего:

$$x + y = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6},$$

и

$$5z = 5 \cdot \frac{1}{6} = \frac{5}{6}.$$

Это условие выполнено.

Ответ:

Числа, которые удовлетворяют условиям задачи: $x = \frac{1}{2}, y = \frac{1}{3}, z = \frac{1}{6}$.