ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1439 Алимов — Подробные Ответы

Разность двух чисел относится к их произведению как 1 : 24, а сумма этих чисел в 5 раз больше их разности. Найти эти числа.

Пусть $x$ и $y$ — данные числа;

Разность этих чисел относится к их произведению как $1 : 24$, значит:

$$\frac{x — y}{xy} = \frac{1}{24};$$ $$24(x — y) = xy;$$

Сумма данных чисел в пять раз больше их разности, значит:

$$x + y = 5(x — y);$$ $$x + y = 5x — 5y;$$ $$4x = 6y;$$ $$x = 1.5y;$$

Составим и решим уравнение:

$$24\left(\frac{3}{2}y — y\right) = 1.5y \cdot y;$$ $$36y — 24y = 1.5y^2;$$ $$12y — 1.5y^2 = 0 \quad | : 1.5;$$ $$8y — y^2 = 0;$$ $$y \cdot (8 — y) = 0;$$ $$y_1 = 0 \text{ и } y_2 = 8;$$ $$x_1 = 1.5 \cdot 0 = 0 \text{ и } x_2 = 1.5 \cdot 8 = 12;$$

Выражение имеет смысл при:

$$xy \neq 0, \text{отсюда } x \neq 0 \text{ и } y \neq 0;$$

Ответ: $8$ и $12$.

Условия задачи:

1. Разность двух чисел относится к их произведению как $1 : 24$.
2. Сумма этих чисел в 5 раз больше их разности.
3. Нужно найти эти два числа.

Шаг 1: Обозначим переменные

Пусть:

• $x$ и $y$ — два числа.

Шаг 2: Первая данная связь (разность чисел относится к их произведению как $1 : 24$)

Согласно условию задачи, разность чисел $x — y$ относится к их произведению $x \cdot y$ как $1 : 24$. Это можно записать в виде пропорции:

$$\frac{x — y}{xy} = \frac{1}{24}.$$

Перемножим обе части на $xy$ и 24, чтобы избавиться от дробей:

$$24(x — y) = xy. \tag{1}$$

Шаг 3: Вторая данная связь (сумма чисел в 5 раз больше их разности)

Из условия задачи известно, что сумма этих чисел в 5 раз больше их разности. Это можно записать как:

$$x + y = 5(x — y). \tag{2}$$

Шаг 4: Решение уравнений

Упростим уравнение (2):

Раскроем скобки:

$$x + y = 5x — 5y.$$

Теперь перенесем все слагаемые с $x$ на одну сторону и все слагаемые с $y$ на другую:

$$x — 5x = -5y — y$$

Упрощаем:

$$-4x = -6y.$$

Разделим обе части на -2:

$$2x = 3y. \tag{3}$$

Теперь у нас есть выражение для $x$ через $y$:

$$x = \frac{3}{2}y. \tag{4}$$

Подставим $x = \frac{3}{2}y$ в уравнение (1):

Теперь мы подставим найденное выражение для $x$ в уравнение (1), чтобы решить систему уравнений. Для этого заменим $x$ на $\frac{3}{2}y$ в уравнении (1):

$$24\left(\frac{3}{2}y — y\right) = \left(\frac{3}{2}y\right) \cdot y.$$

Упростим:

$$24\left(\frac{3}{2}y — y\right) = \frac{3}{2}y^2.$$

Теперь упростим выражение в скобках:

$$\frac{3}{2}y — y = \frac{3}{2}y — \frac{2}{2}y = \frac{1}{2}y.$$

Подставим это обратно:

$$24 \cdot \frac{1}{2}y = \frac{3}{2}y^2.$$

Умножим:

$$12y = \frac{3}{2}y^2.$$

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дроби:

$$24y = 3y^2.$$

Теперь перенесем все в одну сторону:

$$3y^2 — 24y = 0.$$

Вынесем $y$ за скобки:

$$y(3y — 24) = 0.$$

Шаг 5: Решение уравнения

У нас есть два возможных решения:

1. $y = 0$.
2. $3y — 24 = 0$, что дает $y = 8$.

Шаг 6: Найдем $x$

Используя выражение $x = \frac{3}{2}y$, найдем $x$ для каждого случая:

1. Когда $y = 0$, тогда $x = \frac{3}{2} \times 0 = 0$.
2. Когда $y = 8$, тогда $x = \frac{3}{2} \times 8 = 12$.

Шаг 7: Проверим результаты

Теперь проверим, какое из решений подходит к задаче. Из условия задачи ясно, что оба числа не могут быть равны нулю (поскольку они должны быть положительными и существующими числами). Таким образом, $y = 0$ и $x = 0$ — это не подходящее решение, а правильное решение $x = 12$ и $y = 8$.

Ответ:

Два числа — это $8$ и $12$.