ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1433 Алимов — Подробные Ответы

Решить систему неравенств

$$\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{x+1}{5}}-{\displaystyle \frac{x+2}{4}}<{\displaystyle \frac{x-3}{3}}+{\displaystyle \frac{x-4}{2}}& \mathrm{}\\ {\displaystyle \frac{x-2}{3}}>1+{\displaystyle \frac{x-5}{15}}& \mathrm{}\end{array}$$$$\begin{array}{l}\mathrm{}\end{array}$$

Решить систему неравенств:

$$\begin{cases} \dfrac{x+1}{5} — \dfrac{x+2}{4} < \dfrac{x-3}{3} + \dfrac{x-4}{2} & | \cdot 60 \\ \dfrac{x-2}{3} > 1 + \dfrac{x-5}{15} & | \cdot 15 \end{cases}$$ $$\begin{cases} 12(x+1) — 15(x+2) < 20(x-3) + 30(x-4) \\ 5(x-2) > 15 + (x-5) \end{cases}$$ $$\begin{cases} 12x + 12 — 15x — 30 < 20x — 60 + 30x — 120 \\ 5x — 10 > 15 + x — 5 \end{cases}$$ $$\begin{cases} -3x — 18 < 50x — 180 \\ 5x — 10 > 10 + x \end{cases}$$ $$\begin{cases} 47x > 162 \\ 4x > 20 \end{cases}$$ $$\begin{cases} x > 3 \dfrac{21}{47} \\ x > 5 \end{cases}$$

Ответ: $x > 5$.

Необходимо решить систему неравенств:

$$\begin{cases} \dfrac{x+1}{5} — \dfrac{x+2}{4} < \dfrac{x-3}{3} + \dfrac{x-4}{2} & \quad \text{(умножим на 60)} \\ \dfrac{x-2}{3} > 1 + \dfrac{x-5}{15} & \quad \text{(умножим на 15)} \end{cases}$$

Шаг 1: Преобразование первого неравенства

Исходное неравенство:

$$\dfrac{x+1}{5} — \dfrac{x+2}{4} < \dfrac{x-3}{3} + \dfrac{x-4}{2}$$

Умножаем обе части на 60 (наименьшее общее кратное знаменателей 5, 4, 3, 2):

$$60 \cdot \left( \dfrac{x+1}{5} \right) — 60 \cdot \left( \dfrac{x+2}{4} \right) < 60 \cdot \left( \dfrac{x-3}{3} \right) + 60 \cdot \left( \dfrac{x-4}{2} \right)$$

Рассчитаем каждую часть:

$$60 \cdot \dfrac{x+1}{5} = 12(x+1) = 12x + 12$$ $$60 \cdot \dfrac{x+2}{4} = 15(x+2) = 15x + 30$$ $$60 \cdot \dfrac{x-3}{3} = 20(x-3) = 20x — 60$$ $$60 \cdot \dfrac{x-4}{2} = 30(x-4) = 30x — 120$$

Теперь подставим все это в исходное неравенство:

$$12x + 12 — 15x — 30 < 20x — 60 + 30x — 120$$

Шаг 2: Упростим первое неравенство

Упростим обе части неравенства. Слева:

$$12x — 15x = -3x, \quad 12 — 30 = -18$$

Справа:

$$20x + 30x = 50x, \quad -60 — 120 = -180$$

Получаем:

$$-3x — 18 < 50x — 180$$

Шаг 3: Переносим все переменные на одну сторону

Теперь перенесем все переменные на одну сторону, а числа на другую. Для этого прибавим $3x$ и прибавим 180 к обеим частям:

$$-3x + 3x — 18 + 180 < 50x + 3x — 180 + 180$$

Упрощаем:

$$162 < 53x$$

Шаг 4: Разделим обе части на 53

Чтобы найти $x$, разделим обе части на 53:

$$x > \dfrac{162}{53}$$

Это приближенно равно:

$$x > 3 \dfrac{21}{47}$$

Шаг 5: Преобразование второго неравенства

Исходное неравенство:

$$\dfrac{x-2}{3} > 1 + \dfrac{x-5}{15}$$

Умножим обе части на 15 (наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 15):

$$15 \cdot \dfrac{x-2}{3} > 15 \cdot \left( 1 + \dfrac{x-5}{15} \right)$$

Рассчитаем каждую часть:

$$15 \cdot \dfrac{x-2}{3} = 5(x-2) = 5x — 10$$ $$15 \cdot 1 = 15, \quad 15 \cdot \dfrac{x-5}{15} = x — 5$$

Теперь подставим все это в неравенство:

$$5x — 10 > 15 + x — 5$$

Шаг 6: Упростим второе неравенство

Упростим обе части:

$$5x — 10 > 10 + x$$

Шаг 7: Переносим переменные на одну сторону

Для этого вычитаем $x$ из обеих частей и прибавим 10 к обеим частям:

$$5x — x > 10 + 10$$

Упрощаем:

$$4x > 20$$

Шаг 8: Разделим обе части на 4

Чтобы найти $x$, разделим обе части на 4:

$$x > 5$$

Шаг 9: Совмещение результатов

Мы получили два неравенства:

1. $x > 3 \dfrac{21}{47}$
2. $x > 5$

Поскольку $3 \dfrac{21}{47} \approx 3.44$, то более строгим условием является $x > 5$.

Ответ:

Наибольшее значение $x$, которое удовлетворяет обоим неравенствам — это $x > 5$.

Ответ: $x > 5$.