ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1432 Алимов — Подробные Ответы

Найти наименьшее и наибольшее целые решения системы

$$\begin{cases} \frac{2x-3}{2} — \frac{3x+5}{3} — \frac{x}{6} < 3 — \frac{x+4}{2} & | \cdot 6 \\ 1 — \frac{2x-8}{3} + \frac{4-3x}{2} < 2x — \frac{x+2}{3} & | \cdot 6 \end{cases}$$ $$$$

Найти наименьшее и наибольшее целые решения системы:

$$\begin{cases} \frac{2x-3}{2} — \frac{3x+5}{3} — \frac{x}{6} < 3 — \frac{x+4}{2} & | \cdot 6 \\ 1 — \frac{2x-8}{3} + \frac{4-3x}{2} < 2x — \frac{x+2}{3} & | \cdot 6 \end{cases}$$ $$\begin{cases} 3(2x-3) — 2(3x+5) — x < 18 — 3(x+4) \\ 6 — 2(2x-8) + 3(4-3x) < 12x — 2(x+2) \end{cases}$$ $$\begin{cases} 6x — 9 — 6x — 10 — x < 18 — 3x — 12 \\ 6 — 4x + 16 + 12 — 9x < 12x — 2x — 4 \end{cases}$$ $$\begin{cases} -x — 19 < 6 — 3x \\ 34 — 13x < 10x — 4 \end{cases}$$ $$\begin{cases} 2x < 25 \\ 23x > 38 \end{cases}$$ $$\begin{cases} x < 12 \frac{1}{2} \\ x > 1 \frac{15}{23} \end{cases}$$

Ответ: $x_{\text{min}} = 2$; $x_{\text{max}} = 12$.

Необходимо найти наименьшее и наибольшее целые решения системы:

$$\begin{cases} \frac{2x-3}{2} — \frac{3x+5}{3} — \frac{x}{6} < 3 — \frac{x+4}{2} & \quad \text{(умножим на 6)} \\ 1 — \frac{2x-8}{3} + \frac{4-3x}{2} < 2x — \frac{x+2}{3} & \quad \text{(умножим на 6)} \end{cases}$$

Шаг 1: Преобразование первой неравенства

Исходное неравенство:

$$\frac{2x-3}{2} — \frac{3x+5}{3} — \frac{x}{6} < 3 — \frac{x+4}{2}$$

Умножаем обе части неравенства на 6 (наименьшее общее кратное знаменателей):

$$6 \cdot \left( \frac{2x-3}{2} \right) — 6 \cdot \left( \frac{3x+5}{3} \right) — 6 \cdot \left( \frac{x}{6} \right) < 6 \cdot 3 — 6 \cdot \left( \frac{x+4}{2} \right)$$

Теперь произведем умножение:

$$3(2x-3) — 2(3x+5) — x < 18 — 3(x+4)$$

Шаг 2: Раскрытие скобок

Распишем скобки в полученном выражении:

$$3(2x — 3) = 6x — 9, \quad 2(3x + 5) = 6x + 10, \quad 3(x + 4) = 3x + 12$$

Таким образом, неравенство примет вид:

$$6x — 9 — 6x — 10 — x < 18 — 3x — 12$$

Шаг 3: Упростим выражение

Сначала упростим обе части неравенства. Слева:

$$6x — 6x — x = -x, \quad -9 — 10 = -19$$

Справа:

$$18 — 12 = 6, \quad -3x$$

Получаем:

$$-x — 19 < 6 — 3x$$

Шаг 4: Переносим все в одну сторону

Теперь перенесем все переменные на одну сторону, а числа на другую. Для этого прибавим $3x$ к обеим частям:

$$-x + 3x — 19 < 6$$

Получаем:

$$2x — 19 < 6$$

Прибавляем 19 к обеим частям:

$$2x < 25$$

Шаг 5: Решение неравенства

Теперь решим неравенство:

$$2x < 25$$

Разделим обе части на 2:

$$x < 12.5$$

Шаг 6: Преобразование второго неравенства

Исходное неравенство:

$$1 — \frac{2x-8}{3} + \frac{4-3x}{2} < 2x — \frac{x+2}{3}$$

Умножим обе части неравенства на 6 (для того чтобы избавиться от дробей):

$$6 \cdot \left( 1 — \frac{2x-8}{3} + \frac{4-3x}{2} \right) < 6 \cdot \left( 2x — \frac{x+2}{3} \right)$$

Раскрываем умножение:

$$6 \cdot 1 = 6, \quad 6 \cdot \frac{2x-8}{3} = 2(2x-8) = 4x — 16, \quad 6 \cdot \frac{4-3x}{2} = 3(4 — 3x) = 12 — 9x$$

Теперь правую часть:

$$6 \cdot 2x = 12x, \quad 6 \cdot \frac{x+2}{3} = 2(x+2) = 2x + 4$$

Получаем неравенство:

$$6 — (4x — 16) + (12 — 9x) < 12x — (2x + 4)$$

Шаг 7: Раскрытие скобок

Распишем скобки:

$$6 — 4x + 16 + 12 — 9x < 12x — 2x — 4$$

Упростим обе части:

$$6 + 16 + 12 = 34, \quad -4x — 9x = -13x, \quad 12x — 2x = 10x$$

Получаем:

$$34 — 13x < 10x — 4$$

Шаг 8: Переносим все в одну сторону

Переносим все переменные на одну сторону, а числа на другую. Для этого прибавим $13x$ и добавим 4 к обеим частям:

$$34 + 4 < 10x + 13x$$

Упростим:

$$38 < 23x$$

Шаг 9: Решение неравенства

Теперь разделим обе части на 23:

$$x > \frac{38}{23}$$

Приблизительно:

$$x > 1.65$$

Шаг 10: Совмещение результатов

Из первого неравенства мы получаем:

$$x < 12.5$$

Из второго неравенства мы получаем:

$$x > 1.65$$

Следовательно, наименьшее целое значение для $x$ — это $x = 2$, а наибольшее — $x = 12$.

Ответ:

$$x_{\text{min}} = 2, \quad x_{\text{max}} = 12$$