ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 143 Алимов — Подробные Ответы

Решить неравенство:

1. (x+3)/(2+x2) < 3;
2. (x-2)/(5-x) > 1.

1) Решение неравенства

$$\frac{x+3}{2+x^2} < 3$$

Преобразуем его:

$$\frac{x+3}{2+x^2} < 3;$$

$$x + 3 < 3(2 + x^2);$$

$$x + 3 < 6 + 3x^2;$$

$$3x^2 — x + 3 > 0;$$

Вычислим дискриминант:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 3 \cdot 3 = 1 — 36 = -35 < 0.$$

Так как $D < 0$ и коэффициент $a = 3 > 0$, квадратичная функция $3x^2 — x + 3$ всегда положительна для всех $x$. Следовательно, неравенство верно при любом $x$.

Ответ: $x \in \mathbb{R}$

2) Решение неравенства

$$\frac{x-2}{5-x} > 1$$

Приведём к стандартному виду:

$$\frac{x-2}{5-x} — 1 > 0;$$

$$\frac{x-2}{5-x} — \frac{5-x}{5-x} > 0;$$

$$\frac{x-2 — (5-x)}{5-x} > 0;$$

$$\frac{x-2 — 5 + x}{5-x} > 0;$$

$$\frac{2x-7}{5-x} > 0;$$

Разложим на множители:

$$\frac{2x-7}{5-x} > 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{2(x-3.5)}{-(x-5)} > 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{(x-3.5)(x-5)}{-(x-5)} < 0.$$

Учитывая, что знаменатель $5-x \neq 0$, получаем:

$$(x-3.5)(x-5) < 0.$$

Решаем это неравенство методом интервалов:

Критические точки: $x=3.5$ и $x=5$

Тестовые значения:

• Для $x<3.5$: $(x-3.5)(x-5) > 0$ (не подходит).
• Для $3.5<x<5$: $(x-3.5)(x-5) < 0$ (подходит).
• Для $x>5$: $(x-3.5)(x-5) > 0$ (не подходит).

Ответ: $3.5 < x < 5$

1) Решение неравенства

$$\frac{x+3}{2+x^2} < 3$$

Шаг 1: Перенос слагаемого

Умножим обе части неравенства на знаменатель $2 + x^2$, который всегда положителен (так как $x^2 \geq 0$ и $2 + x^2 > 0$ для всех $x$). Поэтому знак неравенства сохраняется:

$$(x+3) < 3(2 + x^2)$$

Шаг 2: Раскрытие скобок

$$x + 3 < 6 + 3x^2$$

Шаг 3: Перенос всех слагаемых в одну сторону

Перенесём всё в левую часть:

$$x + 3 — 6 — 3x^2 < 0$$

$$-3x^2 + x — 3 < 0$$

Домножим обе части неравенства на $-1$ (меняем знак неравенства):

$$3x^2 — x + 3 > 0$$

Шаг 4: Исследование знака квадратичного трёхчлена

Проверим дискриминант:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 3 = 1 — 36 = -35$$

Так как $D < 0$, уравнение $3x^2 — x + 3 = 0$ не имеет действительных корней. Коэффициент при $x^2$ положителен ($3 > 0$), значит, квадратичная функция $3x^2 — x + 3$ всегда положительна. Следовательно, неравенство выполняется при любом $x$

Ответ:$$x \in \mathbb{R}$$

2) Решение неравенства

$$\frac{x-2}{5-x} > 1$$

Шаг 1: Приведение к общему знаменателю

Перенесём 1 влево:

$$\frac{x-2}{5-x} — 1 > 0$$

Запишем $1$ как дробь:

$$\frac{x-2}{5-x} — \frac{5-x}{5-x} > 0$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{x-2 — (5-x)}{5-x} > 0$$

$$\frac{x-2 — 5 + x}{5-x} > 0$$

$$\frac{2x-7}{5-x} > 0$$

Шаг 2: Разложение и упрощение

Запишем числитель в виде множителей:

$$\frac{2(x — 3.5)}{5-x} > 0$$

Так как знаменатель можно записать как $-(x — 5)$, выразим дробь:

$$\frac{2(x — 3.5)}{-(x — 5)} > 0$$

Упростим:

$$\frac{(x — 3.5)(x — 5)}{-(x — 5)} > 0$$

Шаг 3: Решение методом интервалов

Так как $5-x$ в знаменателе, оно не должно равняться нулю ($x \neq 5$). Теперь решим:

$$(x-3.5)(x-5) < 0$$

Определяем критические точки:

Корни уравнения: $x = 3.5$ и $x = 5$

Метод интервалов:

Рассмотрим знаки выражения $(x-3.5)(x-5)$ на промежутках:

Для $x < 3.5$:

• $(x — 3.5) < 0$
• $(x — 5) < 0$
• Их произведение положительно (+) (не подходит).

Для $3.5 < x < 5$:

• $(x — 3.5) > 0$
• $(x — 5) < 0$
• Их произведение отрицательно (−) (подходит).

Для $x > 5$:

• $(x — 3.5) > 0$
• $(x — 5) > 0$
• Их произведение положительно (+) (не подходит).

Ответ:$$3.5 < x < 5$$