ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1424 Алимов — Подробные Ответы

1) система

x2-y2=13,

x-y=1;

2) система

x2-3y=-5,

7x+3y=23.

1)

$$\begin{cases} x^2 — y^2 = 13 \\ x — y = 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^2 — y^2 — 13 = 0 \\ x = 1 + y \end{cases};$$ $$(1 + y)^2 — y^2 — 13 = 0;$$ $$1 + 2y + y^2 — y^2 — 13 = 0;$$ $$2y — 12 = 0$$ $$y — 6 = 0, \text{отсюда } y = 6;$$ $$x = 1 + 6 = 7;$$

Ответ: $(7; 6)$.

2)

$$\begin{cases} x^2 — 3y = -5 \\ 7x + 3y = 23 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^2 — 3y = -5 \\ y = \frac{23 — 7x}{3} \end{cases};$$ $$x^2 + 7x — 3y + 3y = -5 + 23;$$ $$x^2 + 7x — 18 = 0;$$ $$D = 7^2 + 4 \cdot 18 = 49 + 72 = 121, \text{тогда:}$$ $$x_1 = \frac{-7 — 11}{2} = -9 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-7 + 11}{2} = 2;$$ $$y_1 = \frac{23 — 7 \cdot (-9)}{3} = \frac{23 + 63}{3} = \frac{86}{3} = 28 \frac{2}{3};$$ $$y_2 = \frac{23 — 7 \cdot 2}{3} = \frac{23 — 14}{3} = \frac{9}{3} = 3;$$

Ответ: $\left(-9; 28 \frac{2}{3}\right); (2; 3)$.

Задача 1:

Дана система уравнений:

$$\begin{cases} x^2 — y^2 = 13 \\ x — y = 1 \end{cases}$$

Шаг 1: Выразим $x$ через $y$

Из второго уравнения $x — y = 1$ выразим $x$:

$$x = y + 1$$

Шаг 2: Подставляем выражение для $x$ в первое уравнение

Теперь подставим $x = y + 1$ в первое уравнение $x^2 — y^2 = 13$:

$$(y + 1)^2 — y^2 = 13$$

Шаг 3: Раскрываем скобки и упрощаем

Раскроем скобки:

$$(y + 1)^2 = y^2 + 2y + 1$$

Теперь подставим это в уравнение:

$$y^2 + 2y + 1 — y^2 = 13$$

Упростим:

$$2y + 1 = 13$$

Шаг 4: Решаем для $y$

Теперь перенесем 1 на правую сторону:

$$2y = 12$$

Теперь разделим обе стороны на 2:

$$y = 6$$

Шаг 5: Находим $x$

Теперь, когда мы знаем, что $y = 6$, подставим это значение в выражение для $x = y + 1$:

$$x = 6 + 1 = 7$$

Ответ для задачи 1:

$$(x, y) = (7, 6)$$

Задача 2:

Дана система уравнений:

$$\begin{cases} x^2 — 3y = -5 \\ 7x + 3y = 23 \end{cases}$$

Шаг 1: Выразим $y$ через $x$

Из второго уравнения $7x + 3y = 23$ выразим $y$:

$$3y = 23 — 7x$$

Теперь разделим обе стороны на 3:

$$y = \frac{23 — 7x}{3}$$

Шаг 2: Подставляем выражение для $y$ в первое уравнение

Теперь подставим выражение для $y$ в первое уравнение $x^2 — 3y = -5$:

$$x^2 — 3 \left( \frac{23 — 7x}{3} \right) = -5$$

Упростим:

$$x^2 — (23 — 7x) = -5$$

Шаг 3: Раскрываем скобки и упрощаем

Теперь раскроем скобки:

$$x^2 — 23 + 7x = -5$$

Переносим все на одну сторону:

$$x^2 + 7x — 23 + 5 = 0$$

Упростим:

$$x^2 + 7x — 18 = 0$$

Шаг 4: Решаем квадратное уравнение

Теперь решим это квадратное уравнение:

$$x^2 + 7x — 18 = 0$$

Для этого используем дискриминант:

$$D = b^2 — 4ac = 7^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 49 + 72 = 121$$

Теперь находим корни с помощью формулы:

$$x_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 — 11}{2} = \frac{-18}{2} = -9$$ $$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + 11}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

Шаг 5: Находим соответствующие значения для $y$

Теперь найдем значения $y$ для каждого из найденных значений $x$.

Если $x = -9$, то подставим это в выражение для $y = \frac{23 — 7x}{3}$:

$$y_1 = \frac{23 — 7 \cdot (-9)}{3} = \frac{23 + 63}{3} = \frac{86}{3} = 28 \frac{2}{3}$$

Если $x = 2$, то подставим это в выражение для $y$:

$$y_2 = \frac{23 — 7 \cdot 2}{3} = \frac{23 — 14}{3} = \frac{9}{3} = 3$$

Ответ для задачи 2:

$$(x, y) = (-9, 28 \frac{2}{3}), (2, 3)$$

Итоговые ответы:

1. Для системы $\begin{cases} x^2 — y^2 = 13 \\ x — y = 1 \end{cases}$ решение: $(7, 6)$.
2. Для системы $\begin{cases} x^2 — 3y = -5 \\ 7x + 3y = 23 \end{cases}$ решение: $(-9, 28 \frac{2}{3}), (2, 3)$.