ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1410 Алимов — Подробные Ответы

1. log0,5 (1 + 2х) > -1;
2. log3 (1 — 2x) < —1.

$\log_{0.5}(1 + 2x) > -1$;

$$\log_{\frac{1}{2}}(1 + 2x) > \log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{2}\right)^{-1};$$ $$1 + 2x < 2;$$ $$2x < 1;$$ $$x < \frac{1}{2};$$

Выражение имеет смысл при:

$$1 + 2x > 0;$$ $$2x > -1;$$ $$x > -\frac{1}{2};$$

Ответ: $-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$.

$\log_{3}(1 — 2x) < -1$;

$$\log_{3}(1 — 2x) < \log_{3}3^{-1};$$ $$1 — 2x < \frac{1}{3};$$ $$-2x < -\frac{2}{3};$$ $$x > \frac{1}{3};$$

Выражение имеет смысл при:

$$1 — 2x > 0;$$ $$-2x > -1;$$ $$x < \frac{1}{2};$$

Ответ: $\frac{1}{3} < x < \frac{1}{2}$.

1) $\log_{0.5}(1 + 2x) > -1$

Шаг 1: Область определения (ОДЗ)

У логарифма основание $a = 0.5 < 1$, но всё ещё $0 < a \ne 1$ — логарифм существует.

Также выражение под логарифмом обязательно положительно:

$$1 + 2x > 0 \Rightarrow 2x > -1 \Rightarrow x > -\frac{1}{2}$$

Шаг 2: Преобразуем правую часть неравенства

Запишем число $-1$ как логарифм по основанию $0.5$:

$$-1 = \log_{0.5} (0.5)^1 = \log_{0.5} \left( \frac{1}{2} \right)^1 = \log_{0.5} \left( \frac{1}{2} \right)$$

Значит:

$$\log_{0.5}(1 + 2x) > \log_{0.5} \left( \frac{1}{2} \right)$$

Шаг 3: Учитываем свойства логарифма с основанием меньше 1

Функция $y = \log_a(x)$, где $0 < a < 1$, является убывающей, поэтому при сравнении логарифмов знак неравенства меняется на противоположный:

$$\log_{0.5}(1 + 2x) > \log_{0.5} \left( \frac{1}{2} \right) \quad \Rightarrow \quad 1 + 2x < \frac{1}{2}$$

Шаг 4: Решаем простое линейное неравенство

$$1 + 2x < 1 \Rightarrow 2x < 1 \Rightarrow x < \frac{1}{2}$$

Шаг 5: Объединяем с ОДЗ

• ОДЗ: $x > -\frac{1}{2}$
• Решение: $x < \frac{1}{2}$

Ответ:

$$\boxed{-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}}$$

2) $\log_{3}(1 — 2x) < -1$

Шаг 1: Область определения

Выражение под логарифмом должно быть положительно:

$$1 — 2x > 0 \Rightarrow -2x > -1 \Rightarrow x < \frac{1}{2}$$

Шаг 2: Преобразуем правую часть

Представим $-1$ как логарифм по основанию 3:

$$-1 = \log_3(3^{-1}) = \log_3\left( \frac{1}{3} \right)$$

Получаем:

$$\log_3(1 — 2x) < \log_3\left( \frac{1}{3} \right)$$

Шаг 3: Основание $a = 3 > 1$ — функция возрастает

Значит, знак неравенства сохраняется:

$$1 — 2x < \frac{1}{3}$$

Шаг 4: Решаем линейное неравенство

$$1 — 2x < \frac{1}{3} \Rightarrow -2x < \frac{1}{3} — 1 = -\frac{2}{3} \Rightarrow x > \frac{1}{3}$$

Шаг 5: Объединяем с ОДЗ

• ОДЗ: $x < \frac{1}{2}$
• Решение: $x > \frac{1}{3}$

Ответ:

$$\boxed{\frac{1}{3} < x < \frac{1}{2}}$$

Итог:

1. $\boxed{-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}}$
2. $\boxed{\frac{1}{3} < x < \frac{1}{2}}$