ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1404 Алимов — Подробные Ответы

1. 3(x+1)*9(x-1/2) > = корень 3 степени 3;
2. 3(x+1) +3(x-1) < 10.

1) $3^{x+1} \cdot 9^{x-\frac{1}{2}} \geq \sqrt[3]{3}$;

$3^{x+1} \cdot (3^2)^{x-\frac{1}{2}} \geq 3^{\frac{1}{3}};$

$3^{x+1} \cdot 3^{2x-1} \geq 3^{\frac{1}{3}};$

$3^{3x} \geq 3^{\frac{1}{3}};$

$3x \geq \frac{1}{3};$

$x \geq \frac{1}{9};$

Ответ: $x \geq \frac{1}{9}$.

2) $3^{x+1} + 3^{x-1} < 10$;

$3^x \cdot (3^1 + 3^{-1}) < 10;$

$3^x \cdot \left(3 + \frac{1}{3}\right) < 10;$

$3^x \cdot \frac{9 + 1}{3} < 10;$

$3^x \cdot \frac{10}{3} < 10;$

$3^x < 3;$

$x < 1;$

Ответ: $x < 1$.

1) Решить неравенство:

$$3^{x+1} \cdot 9^{x-\frac{1}{2}} \geq \sqrt[3]{3}$$

Шаг 1: Представим число 9 как степень числа 3

$$9 = 3^2$$

Подставим это в выражение:

$$3^{x+1} \cdot (3^2)^{x — \frac{1}{2}} \geq \sqrt[3]{3}$$

Шаг 2: Применим свойство степеней $(a^m)^n = a^{mn}$

$$(3^2)^{x — \frac{1}{2}} = 3^{2(x — \frac{1}{2})}$$

Выполним раскрытие скобок:

$$3^{2(x — \frac{1}{2})} = 3^{2x — 1}$$

Теперь неравенство становится:

$$3^{x+1} \cdot 3^{2x — 1} \geq \sqrt[3]{3}$$

Шаг 3: Применим свойство $(a^m \cdot a^n = a^{m+n})$

$$3^{x+1 + 2x — 1} = 3^{3x}$$

Левая часть неравенства теперь:

$$3^{3x} \geq \sqrt[3]{3}$$

Шаг 4: Представим правую часть как степень с основанием 3

$$\sqrt[3]{3} = 3^{\frac{1}{3}}$$

Теперь неравенство выглядит так:

$$3^{3x} \geq 3^{\frac{1}{3}}$$

Шаг 5: Поскольку основания одинаковые и $3 > 1$, сравним показатели

$$3x \geq \frac{1}{3}$$

Шаг 6: Решим это неравенство

Разделим обе части на 3:

$$x \geq \frac{1}{9}$$

Ответ к первому неравенству:

$$\boxed{x \geq \frac{1}{9}}$$

2) Решить неравенство:

$$3^{x+1} + 3^{x-1} < 10$$

Шаг 1: Вынесем общий множитель $3^x$

Запишем каждое слагаемое через $3^x$:

$$3^{x+1} = 3^x \cdot 3^1 = 3^x \cdot 3$$ $$3^{x-1} = 3^x \cdot 3^{-1} = 3^x \cdot \frac{1}{3}$$

Подставим:

$$3^x \cdot 3 + 3^x \cdot \frac{1}{3} < 10$$

Шаг 2: Вынесем $3^x$ за скобки

$$3^x \cdot \left(3 + \frac{1}{3}\right) < 10$$

Шаг 3: Приведем к общему знаменателю в скобках

$$3 + \frac{1}{3} = \frac{9}{3} + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}$$

Подставим:

$$3^x \cdot \frac{10}{3} < 10$$

Шаг 4: Избавимся от дроби — умножим обе части на 3

$$3^x \cdot 10 < 30$$

Шаг 5: Разделим обе части на 10

$$3^x < 3$$

Шаг 6: Представим правую часть как степень 3

$$3 = 3^1$$

Теперь:

$$3^x < 3^1$$

Шаг 7: Поскольку основания одинаковые и $3 > 1$, сравниваем показатели

$$x < 1$$

Ответ ко второму неравенству:

$$\boxed{x < 1}$$