ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1389 Алимов — Подробные Ответы

При каких значениях х положительна дробь:

1. $\frac{5x — 4}{7x + 5} > 0$;
2. $\frac{3x + 10}{40 — x} > 0$;
3. $\frac{x + 2}{5 — 4x} > 0$;
4. $\frac{8 — x}{6 + 3x} > 0$

1. $\frac{5x — 4}{7x + 5} > 0$;
   $(7x + 5)(5x — 4) > 0$;
   $x < -\frac{5}{7}$ и $x > \frac{4}{5}$;
   Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{5}{7}) \cup (\frac{4}{5}; +\infty)$.
2. $\frac{3x + 10}{40 — x} > 0$;
   $(3x + 10)(40 — x) > 0$;
   $(3x + 10)(x — 40) < 0$;
   $-3\frac{1}{3} < x < 40$;
   Ответ: $x \in \left(-3\frac{1}{3}; 40\right)$.
3. $\frac{x + 2}{5 — 4x} > 0$;
   $(x + 2)(5 — 4x) > 0$;
   $(x + 2)(4x — 5) < 0$;
   $-2 < x < 1,25$;
   Ответ: $x \in (-2; 1,25)$.
4. $\frac{8 — x}{6 + 3x} > 0$;
   $(6 + 3x)(8 — x) > 0$;
   $(6 + 3x)(x — 8) < 0$;
   $-2 < x < 8$;
   Ответ: $x \in (-2; 8)$.

Задача 1: $\frac{5x — 4}{7x + 5} > 0$

Шаг 1: Анализ знаков дроби.

Для того чтобы решить неравенство, нам нужно изучить, при каких значениях $x$ числитель и знаменатель будут иметь одинаковые знаки, чтобы дробь была положительной.

Неравенство:

$$\frac{5x — 4}{7x + 5} > 0.$$

Это неравенство выполнится, если числитель $5x — 4$ и знаменатель $7x + 5$ имеют одинаковые знаки. То есть, нужно решить два неравенства:

1. $5x — 4 > 0$ и $7x + 5 > 0$,
2. $5x — 4 < 0$ и $7x + 5 < 0$.

Шаг 2: Решение первого неравенства $5x — 4 > 0$.

Решаем:

$$5x — 4 > 0,$$ $$5x > 4,$$ $$x > \frac{4}{5}.$$

Шаг 3: Решение второго неравенства $7x + 5 > 0$.

Решаем:

$$7x + 5 > 0,$$ $$7x > -5,$$ $$x > -\frac{5}{7}.$$

Шаг 4: Решение второго случая $5x — 4 < 0$ и $7x + 5 < 0$.

Решаем:

$$5x — 4 < 0,$$ $$5x < 4,$$ $$x < \frac{4}{5}.$$

Решаем:

$$7x + 5 < 0,$$ $$7x < -5,$$ $$x < -\frac{5}{7}.$$

Шаг 5: Интервалы решения.

Из первого случая ($5x — 4 > 0$ и $7x + 5 > 0$) получаем:

$$x > \frac{4}{5}.$$

Из второго случая ($5x — 4 < 0$ и $7x + 5 < 0$) получаем:

$$x < -\frac{5}{7}.$$

Таким образом, решение неравенства:

$$x \in \left(-\infty; -\frac{5}{7}\right) \cup \left(\frac{4}{5}; +\infty\right).$$

Ответ для первого неравенства:

$$x \in \left(-\infty; -\frac{5}{7}\right) \cup \left(\frac{4}{5}; +\infty\right).$$

Задача 2: $\frac{3x + 10}{40 — x} > 0$

Шаг 1: Анализ знаков дроби.

Для того чтобы дробь была положительной, числитель $3x + 10$ и знаменатель $40 — x$ должны иметь одинаковые знаки.

Неравенство:

$$\frac{3x + 10}{40 — x} > 0.$$

Это неравенство выполнится, если числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки, то есть нужно решить два неравенства:

1. $3x + 10 > 0$ и $40 — x > 0$,
2. $3x + 10 < 0$ и $40 — x < 0$.

Шаг 2: Решение первого неравенства $3x + 10 > 0$.

Решаем:

$$3x + 10 > 0,$$ $$3x > -10,$$ $$x > -\frac{10}{3}.$$

Шаг 3: Решение второго неравенства $40 — x > 0$.

Решаем:

$$40 — x > 0,$$ $$x < 40.$$

Шаг 4: Решение второго случая $3x + 10 < 0$ и $40 — x < 0$.

Решаем:

$$3x + 10 < 0,$$ $$3x < -10,$$ $$x < -\frac{10}{3}.$$

Решаем:

$$40 — x < 0,$$ $$x > 40.$$

Шаг 5: Интервалы решения.

Из первого случая ($3x + 10 > 0$ и $40 — x > 0$) получаем:

$$x > -\frac{10}{3} \quad \text{и} \quad x < 40.$$

Таким образом, решение:

$$x \in \left(-\frac{10}{3}; 40\right).$$

Из второго случая ($3x + 10 < 0$ и $40 — x < 0$) получаем:

$$x < -\frac{10}{3} \quad \text{и} \quad x > 40,$$

что невозможно.

Ответ для второго неравенства:

$$x \in \left(-\frac{10}{3}; 40\right).$$

Задача 3: $\frac{x + 2}{5 — 4x} > 0$

Шаг 1: Анализ знаков дроби.

Для того чтобы дробь была положительной, числитель $x + 2$ и знаменатель $5 — 4x$ должны иметь одинаковые знаки.

Неравенство:

$$\frac{x + 2}{5 — 4x} > 0.$$

Это неравенство выполнится, если числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки, то есть нужно решить два неравенства:

1. $x + 2 > 0$ и $5 — 4x > 0$,
2. $x + 2 < 0$ и $5 — 4x < 0$.

Шаг 2: Решение первого неравенства $x + 2 > 0$.

Решаем:

$$x + 2 > 0,$$ $$x > -2.$$

Шаг 3: Решение второго неравенства $5 — 4x > 0$.

Решаем:

$$5 — 4x > 0,$$ $$4x < 5,$$ $$x < \frac{5}{4}.$$

Шаг 4: Решение второго случая $x + 2 < 0$ и $5 — 4x < 0$.

Решаем:

$$x + 2 < 0,$$ $$x < -2.$$

Решаем:

$$5 — 4x < 0,$$ $$4x > 5,$$ $$x > \frac{5}{4}.$$

Шаг 5: Интервалы решения.

Из первого случая ($x + 2 > 0$ и $5 — 4x > 0$) получаем:

$$x > -2 \quad \text{и} \quad x < \frac{5}{4}.$$

Таким образом, решение:

$$x \in (-2; \frac{5}{4}).$$

Из второго случая ($x + 2 < 0$ и $5 — 4x < 0$) получаем:

$$x < -2 \quad \text{и} \quad x > \frac{5}{4},$$

что невозможно.

Ответ для третьего неравенства:

$$x \in (-2; 1.25).$$

Задача 4: $\frac{8 — x}{6 + 3x} > 0$

Шаг 1: Анализ знаков дроби.

Для того чтобы дробь была положительной, числитель $8 — x$ и знаменатель $6 + 3x$ должны иметь одинаковые знаки.

Неравенство:

$$\frac{8 — x}{6 + 3x} > 0.$$

Это неравенство выполнится, если числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки, то есть нужно решить два неравенства:

1. $8 — x > 0$ и $6 + 3x > 0$,
2. $8 — x < 0$ и $6 + 3x < 0$.

Шаг 2: Решение первого неравенства $8 — x > 0$.

Решаем:

$$8 — x > 0,$$ $$x < 8.$$

Шаг 3: Решение второго неравенства $6 + 3x > 0$.

Решаем:

$$6 + 3x > 0,$$ $$3x > -6,$$ $$x > -2.$$

Шаг 4: Решение второго случая $8 — x < 0$ и $6 + 3x < 0$.

Решаем:

$$8 — x < 0,$$ $$x > 8.$$

Решаем:

$$6 + 3x < 0,$$ $$3x < -6,$$ $$x < -2.$$

Шаг 5: Интервалы решения.

Из первого случая ($8 — x > 0$ и $6 + 3x > 0$) получаем:

$$x < 8 \quad \text{и} \quad x > -2.$$

Таким образом, решение:

$$x \in (-2; 8).$$

Из второго случая ($8 — x < 0$ и $6 + 3x < 0$) получаем:

$$x > 8 \quad \text{и} \quad x < -2,$$

что невозможно.

Ответ для четвертого неравенства:

$$x \in (-2; 8).$$

Итоговые ответы:

1. $x \in \left(-\infty; -\frac{5}{7}\right) \cup \left(\frac{4}{5}; +\infty\right)$
2. $x \in \left(-\frac{10}{3}; 40\right)$
3. $x \in (-2; 1.25)$
4. $x \in (-2; 8)$