ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1365 Алимов — Подробные Ответы

1. (3-4 sin x) (3 + 4 cos x) = 0;
2. (tg x + 3) (tg x + 1) = 0.

$(3 — 4 \sin x)(3 + 4 \cos x) = 0$;

Первое уравнение:
$3 — 4 \sin x = 0;$
$4 \sin x = 3;$
$\sin x = \frac{3}{4};$
$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{3}{4} + \pi n;$

Второе уравнение:
$3 + 4 \cos x = 0;$
$4 \cos x = -3;$
$\cos x = -\frac{3}{4};$
$x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{3}{4} \right) + 2 \pi n;$

Ответ:
$(-1)^n \cdot \arcsin \frac{3}{4} + \pi n; \quad \pm \left( \pi — \arccos \frac{3}{4} \right) + 2 \pi n.$

$(\operatorname{tg} x + 3)(\operatorname{tg} x + 1) = 0$;

Первое уравнение:
$\operatorname{tg} x + 3 = 0;$
$\operatorname{tg} x = -3;$
$x = -\operatorname{arctg} 3 + \pi n;$

Второе уравнение:
$\operatorname{tg} x + 1 = 0;$
$\operatorname{tg} x = -1;$
$x = -\operatorname{arctg} 1 + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n;$

Ответ:
$-\operatorname{arctg} 3 + \pi n; \quad -\frac{\pi}{4} + \pi n.$

Уравнение 1: $(3 — 4 \sin x)(3 + 4 \cos x) = 0$

Это произведение двух выражений, которое равно нулю. Согласно свойствам умножения, если произведение двух чисел равно нулю, то хотя бы одно из чисел должно быть равно нулю. Таким образом, получаем два уравнения:

1. $3 — 4 \sin x = 0$
2. $3 + 4 \cos x = 0$

Первое уравнение: $3 — 4 \sin x = 0$

1. Из этого уравнения выразим $\sin x$:

   $$3 — 4 \sin x = 0$$ $$4 \sin x = 3$$ $$\sin x = \frac{3}{4}$$

2. Теперь находим $x$. Решение синуса $\sin x = \frac{3}{4}$ дает несколько значений, так как функция синуса периодична. Это значит, что существуют такие значения $x$, при которых синус будет равен $\frac{3}{4}$, но также на интервалах, отличных от основного (между $0$ и $2\pi$).

   Решения для $\sin x = \frac{3}{4}$ можно выразить следующим образом:

   $$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{3}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

   где $\arcsin \frac{3}{4}$ — это значение угла в радианах, при котором синус равен $\frac{3}{4}$.

Второе уравнение: $3 + 4 \cos x = 0$

1. Из этого уравнения выразим $\cos x$:

   $$3 + 4 \cos x = 0$$ $$4 \cos x = -3$$ $$\cos x = -\frac{3}{4}$$

2. Для косинуса также есть несколько решений, так как функция косинуса тоже периодична.

   Решения для $\cos x = -\frac{3}{4}$ можно выразить следующим образом:

   $$x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{3}{4} \right) + 2 \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

   где $\arccos \frac{3}{4}$ — это угол, при котором косинус равен $-\frac{3}{4}$, и $n$ — целое число, что отражает периодичность косинуса с периодом $2\pi$.

Ответ для уравнения 1:

$$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{3}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

и

$$x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{3}{4} \right) + 2 \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Уравнение 2: $(\operatorname{tg} x + 3)(\operatorname{tg} x + 1) = 0$

Это произведение двух выражений, которое равно нулю. Снова, согласно свойствам умножения, хотя бы одно из выражений должно быть равно нулю:

1. $\operatorname{tg} x + 3 = 0$
2. $\operatorname{tg} x + 1 = 0$

Первое уравнение: $\operatorname{tg} x + 3 = 0$

1. Из этого уравнения выразим $\operatorname{tg} x$:

   $$\operatorname{tg} x + 3 = 0$$ $$\operatorname{tg} x = -3$$

2. Решаем уравнение для тангенса. Тангенс функции также имеет периодичность $\pi$, то есть решение для $\operatorname{tg} x = -3$ будет повторяться через $\pi$.

   Таким образом, решение будет следующим:

   $$x = -\operatorname{arctg} 3 + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

   где $\operatorname{arctg} 3$ — это значение угла в радианах, при котором тангенс равен $-3$.

Второе уравнение: $\operatorname{tg} x + 1 = 0$

1. Из этого уравнения выразим $\operatorname{tg} x$:

   $$\operatorname{tg} x + 1 = 0$$ $$\operatorname{tg} x = -1$$

2. Решение для $\operatorname{tg} x = -1$ известно, что $\operatorname{tg} \left( -\frac{\pi}{4} \right) = -1$. Поскольку тангенс периодичен с периодом $\pi$, то общее решение будет следующим:

   $$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Ответ для уравнения 2:

$$x = -\operatorname{arctg} 3 + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

и

$$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$