ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1364 Алимов — Подробные Ответы

1. 3 cos2 x — 5 cos x — 12 = 0;
2. 3 tg2 x-4tgx + 5 = 0.

$3 \cos^2 x — 5 \cos x — 12 = 0$;

Пусть $y = \cos x$, тогда:

$$3y^2 — 5y — 12 = 0;$$

$D = 5^2 + 4 \cdot 3 \cdot 12 = 25 + 144 = 169$, тогда:

$$y_1 = \frac{5 — 13}{2 \cdot 3} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3} \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{5 + 13}{2 \cdot 3} = 3;$$

Первое уравнение:

$$\cos x = -\frac{4}{3} \quad \text{— корней нет};$$

Второе уравнение:

$$\cos x = 3 \quad \text{— корней нет};$$

Ответ: нет решений.

$3 \operatorname{tg}^2 x — 4 \operatorname{tg} x + 5 = 0$;

Пусть $y = \operatorname{tg} x$, тогда:

$$3y^2 — 4y + 5 = 0;$$

$D = 4^2 — 4 \cdot 3 \cdot 5 = 16 — 60 = -44;$

$D < 0$, значит корней нет;

Ответ: нет решений.

Задача 1: $3 \cos^2 x — 5 \cos x — 12 = 0$

Шаг 1: Подстановка

У нас есть уравнение:

$$3 \cos^2 x — 5 \cos x — 12 = 0.$$

Чтобы упростить его, вводим замену переменной:

$$y = \cos x.$$

Тогда исходное уравнение становится квадратичным:

$$3y^2 — 5y — 12 = 0.$$

Шаг 2: Решение квадратного уравнения

Теперь решаем квадратное уравнение относительно $y$. Для этого используем дискриминант. Формула для дискриминанта $D$ квадратного уравнения $ay^2 + by + c = 0$ выглядит так:

$$D = b^2 — 4ac.$$

В нашем случае:

$$a = 3, \quad b = -5, \quad c = -12.$$

Подставляем эти значения в формулу для дискриминанта:

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-12) = 25 + 144 = 169.$$

Дискриминант положительный, значит уравнение имеет два действительных корня. Теперь находим корни уравнения с помощью формулы корней квадратного уравнения:

$$y_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a}, \quad y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}.$$

Подставляем $D = 169$, $b = -5$, $a = 3$:

$$y_1 = \frac{5 — 13}{2 \cdot 3} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3},$$ $$y_2 = \frac{5 + 13}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3.$$

Шаг 3: Анализ возможных решений

Теперь у нас есть два возможных значения для $y$:

$$y_1 = -\frac{4}{3}, \quad y_2 = 3.$$

Поскольку $y = \cos x$, мы получаем два уравнения:

1. $\cos x = -\frac{4}{3}$,
2. $\cos x = 3$.

Шаг 4: Проверка решений

• $\cos x = -\frac{4}{3}$ невозможно, потому что косинус любого угла лежит в пределах от $-1$ до $1$. Таким образом, это уравнение не имеет решений.
• $\cos x = 3$ также невозможно, так как косинус не может быть больше 1.

Таким образом, оба уравнения не имеют решений.

Ответ: нет решений.

Задача 2: $3 \operatorname{tg}^2 x — 4 \operatorname{tg} x + 5 = 0$

Шаг 1: Подстановка

У нас есть уравнение:

$$3 \operatorname{tg}^2 x — 4 \operatorname{tg} x + 5 = 0.$$

Вводим замену переменной:

$$y = \operatorname{tg} x.$$

Тогда уравнение становится квадратичным:

$$3y^2 — 4y + 5 = 0.$$

Шаг 2: Решение квадратного уравнения

Теперь решаем квадратное уравнение относительно $y$ с помощью дискриминанта. Для этого используем формулу для дискриминанта:

$$D = b^2 — 4ac.$$

В нашем случае:

$$a = 3, \quad b = -4, \quad c = 5.$$

Подставляем эти значения в формулу для дискриминанта:

$$D = (-4)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 5 = 16 — 60 = -44.$$

Так как дискриминант отрицателен ($D < 0$), квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это значит, что уравнение $3y^2 — 4y + 5 = 0$ не имеет решений в области действительных чисел.

Шаг 3: Вывод

Поскольку уравнение не имеет действительных решений, значит, и исходное уравнение $\operatorname{tg}^2 x$ также не имеет решений в области действительных чисел.

Ответ: нет решений.