ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1356 Алимов — Подробные Ответы

1. 7*4×2-9*14×2 + 2*49×2=0;
2. 5*x+4) + 3*4(x+3) = 4(x+4) + 4*5(x+3).

1) $7 \cdot 4^{x^2} — 9 \cdot 14^{x^2} + 2 \cdot 49^{x^2} = 0$;

$7 \cdot 2^{2x^2} — 9 \cdot 7^{x^2} \cdot 2^{x^2} + 2 \cdot 7^{2x^2} = 0 \quad | : 7^{2x^2};$

$7 \left( \frac{2}{7} \right)^{2x^2} — 9 \left( \frac{2}{7} \right)^{x^2} + 2 = 0;$

Пусть $y = \left( \frac{2}{7} \right)^{x^2}$, тогда:

$7y^2 — 9y + 2 = 0;$

$D = 9^2 — 4 \cdot 7 \cdot 2 = 81 — 56 = 25$, тогда:

$y_1 = \frac{9 — 5}{2 \cdot 7} = \frac{4}{14} = \frac{2}{7}$ и $y_2 = \frac{9 + 5}{2 \cdot 7} = 1;$

Первое значение:

$\left( \frac{2}{7} \right)^{x^2} = \frac{2}{7};$

$x^2 = 1$, отсюда $x = \pm 1$;

Второе значение:

$\left( \frac{2}{7} \right)^{x^2} = 1;$

$x^2 = 0$, отсюда $x = 0$;

Ответ: $x_1 = \pm 1$; $x_2 = 0$.

2) $5^{x+4} + 3 \cdot 4^{x+3} = 4^{x+4} + 4 \cdot 5^{x+3};$

$5^4 \cdot 5^x + 3 \cdot 4^3 \cdot 4^x = 4^4 \cdot 4^x + 4 \cdot 5^3 \cdot 5^x;$

$625 \cdot 5^x + 192 \cdot 4^x = 256 \cdot 4^x + 500 \cdot 5^x;$

$625 + 192 \left( \frac{4}{5} \right)^x = 256 \left( \frac{4}{5} \right)^x + 500;$

$64 \left( \frac{4}{5} \right)^x = 125;$

$\left( \frac{4}{5} \right)^x = \frac{125}{64};$

$\left( \frac{5}{4} \right)^{-x} = \left( \frac{5}{4} \right)^3;$

$-x = 3$, отсюда $x = -3;$

Ответ: $x = -3$.

Пример 1:

$$7 \cdot 4^{x^2} — 9 \cdot 14^{x^2} + 2 \cdot 49^{x^2} = 0$$

Шаг 1: Преобразование выражений

Рассмотрим исходное уравнение:

$$7 \cdot 4^{x^2} — 9 \cdot 14^{x^2} + 2 \cdot 49^{x^2} = 0.$$

Выразим все числа как степени простых чисел:

$$4 = 2^2, \quad 14 = 2 \cdot 7, \quad 49 = 7^2.$$

Тогда уравнение примет вид:

$$7 \cdot (2^{2x^2}) — 9 \cdot (2^{x^2} \cdot 7^{x^2}) + 2 \cdot (7^{2x^2}) = 0.$$

Теперь мы можем раскрыть скобки и привести подобные слагаемые:

$$7 \cdot 2^{2x^2} — 9 \cdot 7^{x^2} \cdot 2^{x^2} + 2 \cdot 7^{2x^2} = 0.$$

Шаг 2: Деление на $7^{2x^2}$

Теперь разделим все на $7^{2x^2}$, чтобы упростить уравнение. Получим:

$$\frac{7 \cdot 2^{2x^2}}{7^{2x^2}} — \frac{9 \cdot 7^{x^2} \cdot 2^{x^2}}{7^{2x^2}} + \frac{2 \cdot 7^{2x^2}}{7^{2x^2}} = 0.$$

Упростим каждое из выражений:

$$7 \left( \frac{2}{7} \right)^{2x^2} — 9 \left( \frac{2}{7} \right)^{x^2} + 2 = 0.$$

Шаг 3: Введение переменной

Введем новую переменную:

$$y = \left( \frac{2}{7} \right)^{x^2}.$$

Тогда уравнение примет вид:

$$7y^2 — 9y + 2 = 0.$$

Шаг 4: Решение квадратного уравнения

Теперь решим квадратное уравнение:

$$7y^2 — 9y + 2 = 0.$$

Для этого вычислим дискриминант $D$ по формуле:

$$D = b^2 — 4ac,$$

где $a = 7$, $b = -9$, $c = 2$:

$$D = (-9)^2 — 4 \cdot 7 \cdot 2 = 81 — 56 = 25.$$

Теперь найдем корни уравнения с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

$$y_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a}, \quad y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}.$$

Подставляем значения:

$$y_1 = \frac{9 — 5}{2 \cdot 7} = \frac{4}{14} = \frac{2}{7}, \quad y_2 = \frac{9 + 5}{2 \cdot 7} = \frac{14}{14} = 1.$$

Шаг 5: Решение для $x$

Теперь решим уравнения для каждого значения $y$.

1. Первое значение: $y_1 = \frac{2}{7}$.

   У нас есть:

   $$\left( \frac{2}{7} \right)^{x^2} = \frac{2}{7}.$$

   Это означает, что:

   $$x^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 1.$$

2. Второе значение: $y_2 = 1$.

   У нас есть:

   $$\left( \frac{2}{7} \right)^{x^2} = 1.$$

   Это означает:

   $$x^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0.$$

Ответ:

Таким образом, решения для $x$:

$$x_1 = \pm 1; \quad x_2 = 0.$$

Пример 2:

$$5^{x+4} + 3 \cdot 4^{x+3} = 4^{x+4} + 4 \cdot 5^{x+3}.$$

Шаг 1: Разделение на степени

Раскроем степени и приведем подобные слагаемые:

$$5^4 \cdot 5^x + 3 \cdot 4^3 \cdot 4^x = 4^4 \cdot 4^x + 4 \cdot 5^3 \cdot 5^x.$$

Заменим постоянные множители:

$$625 \cdot 5^x + 192 \cdot 4^x = 256 \cdot 4^x + 500 \cdot 5^x.$$

Шаг 2: Переносим все в одну сторону

Переносим все элементы в одну сторону:

$$625 \cdot 5^x + 192 \cdot 4^x — 256 \cdot 4^x — 500 \cdot 5^x = 0.$$

Упростим:

$$625 \cdot 5^x — 500 \cdot 5^x + 192 \cdot 4^x — 256 \cdot 4^x = 0,$$ $$(625 — 500) \cdot 5^x + (192 — 256) \cdot 4^x = 0,$$ $$125 \cdot 5^x — 64 \cdot 4^x = 0.$$

Шаг 3: Деление на $4^x$

Разделим обе части на $4^x$:

$$125 \left( \frac{5}{4} \right)^x = 64.$$

Шаг 4: Упростим уравнение

Разделим обе части на 125:

$$\left( \frac{5}{4} \right)^x = \frac{64}{125}.$$

Шаг 5: Преобразование правой части

Преобразуем $\frac{64}{125}$ как $\left( \frac{4}{5} \right)^3$, так как $64 = 4^3$ и $125 = 5^3$:

$$\left( \frac{5}{4} \right)^{-x} = \left( \frac{5}{4} \right)^3.$$

Шаг 6: Решение для $x$

Так как основания одинаковы, приравняем показатели степеней:

$$-x = 3 \quad \Rightarrow \quad x = -3.$$

Ответ:

Таким образом, решение для $x$:

$$x = -3.$$

Ответ:

1. $x_1 = \pm 1; \, x_2 = 0$
2. $x = -3$